$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$) のとき、次の値を求めよ。 (1) $\sin \theta \cos \theta$, $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ (2) $\sin \theta - \cos \theta$, $\tan \theta - \frac{1}{\tan \theta}$

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$) のとき、次の値を求めよ。

(1) $\sin \theta \cos \theta$, $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

(2) $\sin \theta - \cos \theta$, $\tan \theta - \frac{1}{\tan \theta}$

2. 解き方の手順

(1)

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の両辺を2乗する。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{2}{4}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} - 1$

$2 \sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{2}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}$

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$= (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - (-\frac{1}{4})) = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + \frac{1}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{5}{4}) = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

(2)

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

$= 1 - 2 \sin \theta \cos \theta = 1 - 2 (-\frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$ より、$\theta$ は鋭角か鈍角である。

$\sin \theta > 0$ である。

また、$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4} < 0$ より、$\cos \theta < 0$。

したがって、$\theta$ は鈍角である。

$\sin \theta - \cos \theta = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ において、$\sin \theta > 0$ であり、$\cos \theta < 0$ であるから、$\sin \theta - \cos \theta > 0$。

したがって、$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$。

$\tan \theta - \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{-(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)}{\sin \theta \cos \theta}$

$= \frac{-(\cos \theta + \sin \theta)(\cos \theta - \sin \theta)}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{(\sin \theta + \cos \theta)(\sin \theta - \cos \theta)}{\sin \theta \cos \theta}$

$= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}}{-\frac{1}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{12}}{4}}{-\frac{1}{4}} = -\sqrt{12} = -2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}$、$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

(2) $\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$、$\tan \theta - \frac{1}{\tan \theta} = -2\sqrt{3}$