$x$ と $y$ の間に $3x + y = 6$ という関係があるとき、以下の問いに答えます。 (1) $3x^2 + y^2$ の最小値を求めます。 (2) $x \geq 0$、$y \geq 0$ のとき、$3x^2 + y^2$ の最大値を求めます。

1. 問題の内容

$x$ と $y$ の間に $3x + y = 6$ という関係があるとき、以下の問いに答えます。

(1) $3x^2 + y^2$ の最小値を求めます。

(2) $x \geq 0$、$y \geq 0$ のとき、$3x^2 + y^2$ の最大値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $3x + y = 6$ より $y = 6 - 3x$ です。

$3x^2 + y^2$ に代入すると、

$3x^2 + (6-3x)^2 = 3x^2 + (36 - 36x + 9x^2) = 12x^2 - 36x + 36$ となります。

これを平方完成します。

$12x^2 - 36x + 36 = 12(x^2 - 3x) + 36 = 12(x - \frac{3}{2})^2 - 12 \cdot \frac{9}{4} + 36 = 12(x - \frac{3}{2})^2 - 27 + 36 = 12(x - \frac{3}{2})^2 + 9$

$12(x - \frac{3}{2})^2 \geq 0$ なので、$x = \frac{3}{2}$ のとき、$3x^2 + y^2$ は最小値をとります。

$x = \frac{3}{2}$ のとき、$y = 6 - 3 \cdot \frac{3}{2} = 6 - \frac{9}{2} = \frac{12-9}{2} = \frac{3}{2}$ です。

よって、最小値は $9$ です。

(2) $y = 6 - 3x$ より、$x \geq 0$、$y \geq 0$ のとき、$x \geq 0$ かつ $6 - 3x \geq 0$ 、つまり $x \geq 0$ かつ $3x \leq 6$ 、すなわち $x \geq 0$ かつ $x \leq 2$ です。

したがって、$0 \leq x \leq 2$ となります。

$3x^2 + y^2 = 12(x - \frac{3}{2})^2 + 9$ でした。

$0 \leq x \leq 2$ の範囲で最大値を求めます。

$x = 0$ のとき、$12(\frac{3}{2})^2 + 9 = 12 \cdot \frac{9}{4} + 9 = 27 + 9 = 36$

$x = 2$ のとき、$12(\frac{1}{2})^2 + 9 = 12 \cdot \frac{1}{4} + 9 = 3 + 9 = 12$

よって、$x = 0$ のとき、$3x^2 + y^2$ は最大値をとり、最大値は $36$ です。 ($y = 6 - 3x$ より、$y = 6$)

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 9

(2) 最大値: 36