$3x + y = 6$ という条件の下で、$3x^2 + y^2$ の最小値を求めます。

1. 問題の内容

$3x + y = 6$ という条件の下で、$3x^2 + y^2$ の最小値を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: 条件式から $y$ を $x$ で表す

条件式 $3x + y = 6$ から、$y = 6 - 3x$ となります。

ステップ2: $y$ を $3x^2 + y^2$ に代入する

$y = 6 - 3x$ を $3x^2 + y^2$ に代入すると、

$3x^2 + (6 - 3x)^2 = 3x^2 + (36 - 36x + 9x^2) = 12x^2 - 36x + 36$

となります。

ステップ3: $12x^2 - 36x + 36$ を平方完成する

$12x^2 - 36x + 36 = 12(x^2 - 3x) + 36 = 12(x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) + 36$

$= 12(x - \frac{3}{2})^2 - 12(\frac{9}{4}) + 36 = 12(x - \frac{3}{2})^2 - 27 + 36 = 12(x - \frac{3}{2})^2 + 9$

となります。

ステップ4: 最小値を求める

$12(x - \frac{3}{2})^2 + 9$ は、$x = \frac{3}{2}$ のとき最小値 $9$ をとります。

このとき、$y = 6 - 3(\frac{3}{2}) = 6 - \frac{9}{2} = \frac{12 - 9}{2} = \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$3x^2 + y^2$ の最小値は $9$ です。