以下の同次連立一次方程式が、非自明解（自明でない解、すなわち零ベクトルでない解）を持つように、$k$の値を定める。 $x + y + 2z = 0$ $-2x + 3y - 2z = 0$ $-x + ky + 2z = 0$

## 問題3(3)

1. 問題の内容

以下の同次連立一次方程式が、非自明解（自明でない解、すなわち零ベクトルでない解）を持つように、$k$の値を定める。

$x + y + 2z = 0$

$-2x + 3y - 2z = 0$

$-x + ky + 2z = 0$

2. 解き方の手順

同次連立一次方程式が非自明解を持つための条件は、係数行列の行列式が0になることです。したがって、係数行列の行列式を計算し、それが0になるようなkの値を求めます。

係数行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 \\

-2 & 3 & -2 \\

-1 & k & 2

\end{pmatrix}$

この行列の行列式を計算します。

$$

\begin{aligned}

\det \begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 \\

-2 & 3 & -2 \\

-1 & k & 2

\end{pmatrix}

&= 1(3 \cdot 2 - (-2) \cdot k) - 1((-2) \cdot 2 - (-2) \cdot (-1)) + 2((-2) \cdot k - 3 \cdot (-1)) \\

&= 1(6 + 2k) - 1(-4 - 2) + 2(-2k + 3) \\

&= 6 + 2k + 6 - 4k + 6 \\

&= 18 - 2k

\end{aligned}

$$

この行列式が0になるようなkの値を求めます。

$18 - 2k = 0$

$2k = 18$

$k = 9$

3. 最終的な答え

$k = 9$