与えられた2つの行列の行列式を計算する問題です。 (1) 3x3の行列 $ \begin{vmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 5 & 8 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} $ の行列式を計算します。 (2) 4x4の行列 $ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} $ の行列式を計算します。

1. 問題の内容

与えられた2つの行列の行列式を計算する問題です。

(1) 3x3の行列

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -2 \\

5 & 8 & 2 \\

2 & -3 & 1

\end{vmatrix}

$$

の行列式を計算します。

(2) 4x4の行列

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 1 & 2 \\

1 & 2 & 4 & 1 \\

3 & 0 & 0 & 2 \\

2 & 4 & 3 & 1

\end{vmatrix}

$$

の行列式を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 3x3の行列式

行列式は次のように計算できます。

$$

\begin{aligned}

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -2 \\

5 & 8 & 2 \\

2 & -3 & 1

\end{vmatrix}

&= 1 \cdot (8 \cdot 1 - 2 \cdot (-3)) - 4 \cdot (5 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + (-2) \cdot (5 \cdot (-3) - 8 \cdot 2) \\

&= 1 \cdot (8 + 6) - 4 \cdot (5 - 4) - 2 \cdot (-15 - 16) \\

&= 1 \cdot 14 - 4 \cdot 1 - 2 \cdot (-31) \\

&= 14 - 4 + 62 \\

&= 72

\end{aligned}

$$

(2) 4x4の行列式

3行目に注目し、余因子展開を用いて行列式を計算します。

$$

\begin{aligned}

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 1 & 2 \\

1 & 2 & 4 & 1 \\

3 & 0 & 0 & 2 \\

2 & 4 & 3 & 1

\end{vmatrix}

&= 3 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix}

0 & 1 & 2 \\

2 & 4 & 1 \\

4 & 3 & 1

\end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}

1 & 1 & 2 \\

1 & 4 & 1 \\

2 & 3 & 1

\end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{3+3} \begin{vmatrix}

1 & 0 & 2 \\

1 & 2 & 1 \\

2 & 4 & 1

\end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{3+4} \begin{vmatrix}

1 & 0 & 1 \\

1 & 2 & 4 \\

2 & 4 & 3

\end{vmatrix} \\

&= 3 \cdot \begin{vmatrix}

0 & 1 & 2 \\

2 & 4 & 1 \\

4 & 3 & 1

\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}

1 & 0 & 1 \\

1 & 2 & 4 \\

2 & 4 & 3

\end{vmatrix}

\end{aligned}

$$

次に、3x3の行列式を計算します。

$$

\begin{aligned}

\begin{vmatrix}

0 & 1 & 2 \\

2 & 4 & 1 \\

4 & 3 & 1

\end{vmatrix}

&= 0 \cdot (4 \cdot 1 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 4) + 2 \cdot (2 \cdot 3 - 4 \cdot 4) \\

&= 0 - 1 \cdot (2 - 4) + 2 \cdot (6 - 16) \\

&= 0 - (-2) + 2 \cdot (-10) \\

&= 2 - 20 = -18

\end{aligned}

$$

$$

\begin{aligned}

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 1 \\

1 & 2 & 4 \\

2 & 4 & 3

\end{vmatrix}

&= 1 \cdot (2 \cdot 3 - 4 \cdot 4) - 0 \cdot (1 \cdot 3 - 4 \cdot 2) + 1 \cdot (1 \cdot 4 - 2 \cdot 2) \\

&= 1 \cdot (6 - 16) - 0 + 1 \cdot (4 - 4) \\

&= -10 + 0 \\

&= -10

\end{aligned}

$$

したがって、

$$

3 \cdot (-18) - 2 \cdot (-10) = -54 + 20 = -34

$$

3. 最終的な答え

(1) 72

(2) -34