等差数列 $\{a_n\}$ と等比数列 $\{b_n\}$ が与えられています。 数列 $\{a_n\}$ について、$a_1 + a_2 = 8$、$a_4 + a_5 = 20$ が与えられています。 数列 $\{b_n\}$ について、$b_1 + b_2 = 4$、$b_4 + b_5 = 108$ が与えられています。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を求めます。 (3) 数列 $\{c_n\}$ が与えられており、最初の $a_1$ 個の項が $b_1$、次の $a_2$ 個の項が $b_2$、…というように並んでいます。 (i) $c_{2023}$ の値を求めます。 (ii) $\sum_{k=1}^{2023} c_k$ の値を求めます。
2025/8/4
1. 問題の内容
等差数列 と等比数列 が与えられています。
数列 について、、 が与えられています。
数列 について、、 が与えられています。
(1) 数列 の一般項 と、初項から第 項までの和 を求めます。
(2) 数列 の一般項 を求めます。
(3) 数列 が与えられており、最初の 個の項が 、次の 個の項が 、…というように並んでいます。
(i) の値を求めます。
(ii) の値を求めます。
2. 解き方の手順
(1) 等差数列 について、
この連立方程式を解きます。
辺々引くと より 。
より なので 。
したがって、。
.
(2) 等比数列 について、
より 。
したがって、。
より なので 。
したがって、.
(3)
(i) なので、
数列 は、 が 個、 が 個、 が 個、…というように並んでいる。
となる を探します。
.
.
.
したがって、 とすると、.
.
は の最後の項。
.
したがって、.
なので、.
(ii)
.
.
.
.
3. 最終的な答え
(1) ,
(2)
(3) (i)
(ii)