等差数列 $\{a_n\}$ と等比数列 $\{b_n\}$ が与えられています。 数列 $\{a_n\}$ について、$a_1 + a_2 = 8$、$a_4 + a_5 = 20$ が与えられています。 数列 $\{b_n\}$ について、$b_1 + b_2 = 4$、$b_4 + b_5 = 108$ が与えられています。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を求めます。 (3) 数列 $\{c_n\}$ が与えられており、最初の $a_1$ 個の項が $b_1$、次の $a_2$ 個の項が $b_2$、…というように並んでいます。 (i) $c_{2023}$ の値を求めます。 (ii) $\sum_{k=1}^{2023} c_k$ の値を求めます。

代数学数列等差数列等比数列級数一般項
2025/8/4

1. 問題の内容

等差数列 {an}\{a_n\} と等比数列 {bn}\{b_n\} が与えられています。
数列 {an}\{a_n\} について、a1+a2=8a_1 + a_2 = 8a4+a5=20a_4 + a_5 = 20 が与えられています。
数列 {bn}\{b_n\} について、b1+b2=4b_1 + b_2 = 4b4+b5=108b_4 + b_5 = 108 が与えられています。
(1) 数列 {an}\{a_n\} の一般項 ana_n と、初項から第 nn 項までの和 SnS_n を求めます。
(2) 数列 {bn}\{b_n\} の一般項 bnb_n を求めます。
(3) 数列 {cn}\{c_n\} が与えられており、最初の a1a_1 個の項が b1b_1、次の a2a_2 個の項が b2b_2、…というように並んでいます。
(i) c2023c_{2023} の値を求めます。
(ii) k=12023ck\sum_{k=1}^{2023} c_k の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 {an}\{a_n\} について、
a1+a2=a1+(a1+d)=2a1+d=8a_1 + a_2 = a_1 + (a_1 + d) = 2a_1 + d = 8
a4+a5=(a1+3d)+(a1+4d)=2a1+7d=20a_4 + a_5 = (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) = 2a_1 + 7d = 20
この連立方程式を解きます。
2a1+7d=202a_1 + 7d = 20
2a1+d=82a_1 + d = 8
辺々引くと 6d=126d = 12 より d=2d = 2
2a1+2=82a_1 + 2 = 8 より 2a1=62a_1 = 6 なので a1=3a_1 = 3
したがって、an=a1+(n1)d=3+(n1)2=2n+1a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)2 = 2n + 1
Sn=n2(a1+an)=n2(3+2n+1)=n2(2n+4)=n(n+2)S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(3 + 2n + 1) = \frac{n}{2}(2n + 4) = n(n+2).
(2) 等比数列 {bn}\{b_n\} について、
b1+b2=b1+b1r=b1(1+r)=4b_1 + b_2 = b_1 + b_1r = b_1(1+r) = 4
b4+b5=b1r3+b1r4=b1r3(1+r)=108b_4 + b_5 = b_1r^3 + b_1r^4 = b_1r^3(1+r) = 108
b1r3(1+r)b1(1+r)=1084\frac{b_1r^3(1+r)}{b_1(1+r)} = \frac{108}{4} より r3=27r^3 = 27
したがって、r=3r = 3
b1(1+3)=4b_1(1+3) = 4 より 4b1=44b_1 = 4 なので b1=1b_1 = 1
したがって、bn=b1rn1=13n1=3n1b_n = b_1r^{n-1} = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}.
(3)
(i) an=2n+1a_n = 2n+1 なので、a1=3,a2=5,a3=7,...a_1 = 3, a_2 = 5, a_3 = 7, ...
数列 {cn}\{c_n\} は、 b1b_1a1=3a_1 = 3 個、b2b_2a2=5a_2 = 5 個、b3b_3a3=7a_3 = 7 個、…というように並んでいる。
b1=1,b2=3,b3=9,...b_1 = 1, b_2 = 3, b_3 = 9, ...
c1,c2,c3=b1=1c_1, c_2, c_3 = b_1 = 1
c4,c5,c6,c7,c8=b2=3c_4, c_5, c_6, c_7, c_8 = b_2 = 3
c9,c10,...,c15=b3=9c_9, c_{10}, ..., c_{15} = b_3 = 9
k=1nak=k=1n(2k+1)=2k=1nk+k=1n1=2n(n+1)2+n=n(n+1)+n=n2+2n\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (2k+1) = 2\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1 = 2\frac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n^2 + 2n
n2+2n=2023n^2 + 2n = 2023 となる nn を探します。
n2+2n2023=0n^2 + 2n - 2023 = 0
n=2±4+4(2023)2=2±8100+42=2±8096+42=2±8092+8244n = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4(2023)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8100 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8096+4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8092+8}}{2} \approx 44.
442+244=1936+88=202444^2+2\cdot 44 = 1936 + 88 = 2024.
432+243=1849+86=193543^2+2\cdot 43 = 1849+86=1935.
したがって、n=44n=44 とすると、k=144ak=442+244=2024\sum_{k=1}^{44} a_k = 44^2+2\cdot 44 = 2024.
c2024=b44c_{2024} = b_{44}.
c2023c_{2023}b43b_{43} の最後の項。
b43=3431=342b_{43} = 3^{43-1} = 3^{42}.
したがって、c2023=342c_{2023} = 3^{42}.
3=2log233=2^{\log_2 3}なので、342=(2log23)42=242log233^{42} = (2^{\log_2 3})^{42} = 2^{42\log_2 3}.
(ii)
k=12023ck=i=143aibib44=i=143(2i+1)3i1\sum_{k=1}^{2023} c_k = \sum_{i=1}^{43} a_i b_i - b_{44} = \sum_{i=1}^{43} (2i+1)3^{i-1}.
S=i=1n(2i+1)3i1=3+73+1132++(2n+1)3n1S=\sum_{i=1}^n (2i+1) 3^{i-1}= 3+7 \cdot 3 + 11 \cdot 3^2+ \cdots +(2n+1)3^{n-1}
3S=33+732+1133++(2n+1)3n3S = 3 \cdot 3 + 7 \cdot 3^2 + 11 \cdot 3^3+ \cdots +(2n+1)3^{n}
2S=3+4(3+32+33++3n1)(2n+1)3n-2S=3+4(3+3^2+3^3+\cdots+3^{n-1})-(2n+1)3^n
2S=3+43(3n11)31(2n+1)3n-2S=3+4\cdot\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} -(2n+1)3^n
2S=3+6(3n11)(2n+1)3n-2S=3+6(3^{n-1}-1)-(2n+1)3^n
2S=3+23n6(2n+1)3n=3(2n1)3n-2S = 3+2 \cdot 3^n - 6 - (2n+1)3^n = -3 - (2n-1)3^n
S=3+(2n1)3n2S = \frac{3+(2n-1)3^n}{2}
S=3+(2431)3432=3+853432S = \frac{3+(2 \cdot 43-1)3^{43}}{2} = \frac{3+85 \cdot 3^{43}}{2}.
b44=343b_{44}=3^{43}.
k=12023ck=Sb44=3+853432343=3+833432\sum_{k=1}^{2023} c_k = S - b_{44}= \frac{3+85 \cdot 3^{43}}{2} - 3^{43} = \frac{3+83 \cdot 3^{43}}{2}.

3. 最終的な答え

(1) an=2n+1a_n = 2n+1, Sn=n(n+2)S_n = n(n+2)
(2) bn=3n1b_n = 3^{n-1}
(3) (i) c2023=342=242log23c_{2023} = 3^{42} = 2^{42 \log_2 3}
(ii) k=12023ck=3+833432\sum_{k=1}^{2023} c_k = \frac{3+83 \cdot 3^{43}}{2}

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