(1) 以下の連立一次方程式を掃き出し法を用いて解く。 $ \begin{cases} 2x + y - 3z = -5 \\ -x - 2y + 3z = 4 \\ x + 3y - 2z = 1 \end{cases} $ (2) 以下の連立一次方程式を掃き出し法を用いて解く。 $ \begin{cases} 2x - y - z = 3 \\ -3x + 2y + z = -4 \\ x - z = 2 \end{cases} $ (3) (2)と同じ係数行列を持つ同次連立一次方程式を解く。 $ \begin{cases} 2x - y - z = 0 \\ -3x + 2y + z = 0 \\ x - z = 0 \end{cases} $ (4) 以下の行列のランク（階数）を求める。 $ \begin{bmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & -2 & 6 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

(1) 以下の連立一次方程式を掃き出し法を用いて解く。

$$

\begin{cases}

2x + y - 3z = -5 \\

-x - 2y + 3z = 4 \\

x + 3y - 2z = 1

\end{cases}

$$

(2) 以下の連立一次方程式を掃き出し法を用いて解く。

$$

\begin{cases}

2x - y - z = 3 \\

-3x + 2y + z = -4 \\

x - z = 2

\end{cases}

$$

(3) (2)と同じ係数行列を持つ同次連立一次方程式を解く。

$$

\begin{cases}

2x - y - z = 0 \\

-3x + 2y + z = 0 \\

x - z = 0

\end{cases}

$$

(4) 以下の行列のランク（階数）を求める。

$$

\begin{bmatrix}

2 & 2 & -1 & 0 \\

0 & 2 & -1 & 4 \\

-1 & 0 & 0 & 2 \\

1 & 4 & -2 & 6

\end{bmatrix}

$$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた連立一次方程式を行列で表すと、次のようになる。

$$

\begin{bmatrix}

2 & 1 & -3 & -5 \\

-1 & -2 & 3 & 4 \\

1 & 3 & -2 & 1

\end{bmatrix}

$$

掃き出し法を行う。

1行目と3行目を入れ替える。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & -2 & 1 \\

-1 & -2 & 3 & 4 \\

2 & 1 & -3 & -5

\end{bmatrix}

$$

2行目に1行目を足す。3行目から1行目の2倍を引く。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & -2 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 5 \\

0 & -5 & 1 & -7

\end{bmatrix}

$$

3行目に2行目の5倍を足す。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & -2 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 5 \\

0 & 0 & 6 & 18

\end{bmatrix}

$$

3行目を6で割る。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & -2 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 5 \\

0 & 0 & 1 & 3

\end{bmatrix}

$$

2行目から3行目を引く。1行目に3行目の2倍を足す。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & 0 & 7 \\

0 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 1 & 3

\end{bmatrix}

$$

1行目から2行目の3倍を引く。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 1 & 3

\end{bmatrix}

$$

よって、$x=1, y=2, z=3$

(2)

与えられた連立一次方程式を行列で表すと、次のようになる。

$$

\begin{bmatrix}

2 & -1 & -1 & 3 \\

-3 & 2 & 1 & -4 \\

1 & 0 & -1 & 2

\end{bmatrix}

$$

1行目と3行目を入れ替える。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

-3 & 2 & 1 & -4 \\

2 & -1 & -1 & 3

\end{bmatrix}

$$

2行目に1行目の3倍を足す。3行目から1行目の2倍を引く。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

0 & 2 & -2 & 2 \\

0 & -1 & 1 & -1

\end{bmatrix}

$$

2行目を2で割る。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

0 & 1 & -1 & 1 \\

0 & -1 & 1 & -1

\end{bmatrix}

$$

3行目に2行目を足す。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

0 & 1 & -1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

$x - z = 2$、$y - z = 1$より、

$x = z + 2$、$y = z + 1$。$z = t$とおくと、$x = t + 2$、$y = t + 1$。

(3)

(2)と同じ係数行列を持つ同次連立一次方程式は

$$

\begin{cases}

2x - y - z = 0 \\

-3x + 2y + z = 0 \\

x - z = 0

\end{cases}

$$

行列で表すと

$$

\begin{bmatrix}

2 & -1 & -1 \\

-3 & 2 & 1 \\

1 & 0 & -1

\end{bmatrix}

$$

(2)と同様に掃き出し法を行うと

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 \\

0 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

$x - z = 0$、$y - z = 0$より、$x = z$、$y = z$。$z = t$とおくと、$x = t$、$y = t$。

(4)

与えられた行列

$$

\begin{bmatrix}

2 & 2 & -1 & 0 \\

0 & 2 & -1 & 4 \\

-1 & 0 & 0 & 2 \\

1 & 4 & -2 & 6

\end{bmatrix}

$$

3行目を-1倍する。

$$

\begin{bmatrix}

2 & 2 & -1 & 0 \\

0 & 2 & -1 & 4 \\

1 & 0 & 0 & -2 \\

1 & 4 & -2 & 6

\end{bmatrix}

$$

1行目と3行目を入れ替える。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & -2 \\

0 & 2 & -1 & 4 \\

2 & 2 & -1 & 0 \\

1 & 4 & -2 & 6

\end{bmatrix}

$$

3行目から1行目の2倍を引く。4行目から1行目を引く。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & -2 \\

0 & 2 & -1 & 4 \\

0 & 2 & -1 & 4 \\

0 & 4 & -2 & 8

\end{bmatrix}

$$

4行目から2行目の2倍を引く。3行目から2行目を引く。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & -2 \\

0 & 2 & -1 & 4 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

ランクは2。

3. 最終的な答え

(1) $x=1, y=2, z=3$

(2) $x = t + 2, y = t + 1, z = t$　($t$は任意)

(3) $x = t, y = t, z = t$　($t$は任意)

(4) 2