数列 $\{a_n\}$ は初項 $\frac{8}{3}$、公差 $\frac{5}{3}$ の等差数列であり、数列 $\{b_n\}$ は初項 $3$、公比 $\frac{4}{3}$ の等比数列である。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項と、初項から第 $n$ 項までの和を求める。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は初項 $\frac{8}{3}$、公差 $\frac{5}{3}$ の等差数列であり、数列 $\{b_n\}$ は初項 $3$、公比 $\frac{4}{3}$ の等比数列である。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項と、初項から第 $n$ 項までの和を求める。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

2. 解き方の手順

(1)

数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ は、等差数列の一般項の公式を用いて、

$a_n = a_1 + (n-1)d$

ここで、$a_1 = \frac{8}{3}$, $d = \frac{5}{3}$ を代入すると、

$a_n = \frac{8}{3} + (n-1)\frac{5}{3} = \frac{8}{3} + \frac{5}{3}n - \frac{5}{3} = \frac{5n+3}{3}$

したがって、ア = 5, イ = 3, ウ = 3

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $\sum_{k=1}^{n} a_k$ は、等差数列の和の公式を用いて、

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$

$a_1 = \frac{8}{3}$, $d = \frac{5}{3}$ を代入すると、

$S_n = \frac{n}{2} \left( 2 \cdot \frac{8}{3} + (n-1)\frac{5}{3} \right) = \frac{n}{2} \left( \frac{16}{3} + \frac{5n}{3} - \frac{5}{3} \right) = \frac{n}{2} \left( \frac{5n+11}{3} \right) = \frac{n(5n+11)}{6}$

したがって、エ = 5, オカ = 11, キ = 6

(2)

数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $\sum_{k=1}^{n} b_k$ は、等比数列の和の公式を用いて、

$S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r-1}$

ここで、$a_1 = 3$, $r = \frac{4}{3}$ を代入すると、

$S_n = \frac{3 \left( \left(\frac{4}{3}\right)^n - 1 \right)}{\frac{4}{3}-1} = \frac{3 \left( \left(\frac{4}{3}\right)^n - 1 \right)}{\frac{1}{3}} = 9 \left( \left(\frac{4}{3}\right)^n - 1 \right)$

したがって、ク = 9, ケ = 2

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{5n+3}{3}$

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{n(5n+11)}{6}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} b_k = 9 \left( \left(\frac{4}{3}\right)^n - 1 \right)$

ケ = 2