自然数 $n$ に対して、$(1+x+x^2+x^3+x^4)^n$ を展開したときの $x^4$ の係数について、 (1) $n=3$ の場合、 (2) $n=4$ の場合、 (3) 一般の場合、 について求める問題です。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$(1+x+x^2+x^3+x^4)^n$ を展開したときの $x^4$ の係数について、

(1) $n=3$ の場合、

(2) $n=4$ の場合、

(3) 一般の場合、

について求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $n=3$ のとき

$(1+x+x^2+x^3+x^4)^3$ を展開したときの $x^4$ の項は、次の組み合わせから得られます。

\begin{itemize}

\item $1 \cdot 1 \cdot x^4$ の並び替え: 3通り

\item $1 \cdot x \cdot x^3$ の並び替え: $3! = 6$通り

\item $1 \cdot x^2 \cdot x^2$ の並び替え: 3通り

\item $x \cdot x \cdot x^2$ の並び替え: 3通り

\end{itemize}

したがって、係数は $3 + 6 + 3 + 3 = 15$ となります。

(2) $n=4$ のとき

$(1+x+x^2+x^3+x^4)^4$ を展開したときの $x^4$ の項は、次の組み合わせから得られます。

\begin{itemize}

\item $1^3 \cdot x^4$ の並び替え: 4通り

\item $1^3 \cdot x \cdot x^3$ の並び替え: $4 \cdot 3 = 12$通り

\item $1^3 \cdot x^2 \cdot x^2$ の並び替え: $4 \cdot 3 / 2 = 6$通り

\item $1^2 \cdot x \cdot x \cdot x^2$ の並び替え: $4 \cdot 3 = 12$通り

\item $1 \cdot x^4 \cdot x^4 \cdot x^4$

\item $x \cdot x \cdot x \cdot x$　の並び替え：1通り

\item $1 \cdot x \cdot x \cdot x^3$

\end{itemize}

$x^4$ の係数は、

$$$$

(1+x+x^2+x^3+x^4)^4 = \left(\frac{1-x^5}{1-x}\right)^4 = (1-x^5)^4(1-x)^{-4}

$$$$

$$(1-x)^{-4} = \sum_{k=0}^\infty \binom{-4}{k}(-x)^k = \sum_{k=0}^\infty \binom{k+3}{k}x^k = \sum_{k=0}^\infty \binom{k+3}{3}x^k$$

$x^4$ の係数は $\binom{4+3}{3} = \binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$ となります。

(3) 一般の場合

$(1+x+x^2+x^3+x^4)^n = (\frac{1-x^5}{1-x})^n = (1-x^5)^n(1-x)^{-n}$

$(1-x)^{-n} = \sum_{k=0}^\infty \binom{-n}{k}(-x)^k = \sum_{k=0}^\infty \binom{n+k-1}{k}x^k = \sum_{k=0}^\infty \binom{n+k-1}{n-1}x^k$

$x^4$ の係数は $\binom{n+4-1}{n-1} = \binom{n+3}{n-1} = \binom{n+3}{4} = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4!}$ となります。

ここで、$n \ge 1$ を満たす必要があります。

3. 最終的な答え

(1) 15

(2) 35

(3) $\binom{n+3}{4}$ 、 0 < n < 5