数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題と、与えられた式を満たす定数 $b$ と $c$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題と、与えられた式を満たす定数 $b$ と $c$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

数列は

$\frac{3}{1\cdot 2 \cdot 2^1}, \frac{4}{2\cdot 3 \cdot 2^2}, \frac{5}{3\cdot 4 \cdot 2^3}, \frac{6}{4\cdot 5 \cdot 2^4}, \dots$

と並んでいます。

分子は $n+2$ 、分母は $n(n+1)2^n$ となっているので、一般項 $a_n$ は

$$a_n = \frac{n+2}{n(n+1)2^n}$$

となります。

(2) 定数 $b, c$ を求める。

与えられた式に $a_n$ を代入します。

$$2^n a_n = \frac{b}{n} + \frac{c}{n+1}$$

$$2^n \cdot \frac{n+2}{n(n+1)2^n} = \frac{b}{n} + \frac{c}{n+1}$$

$$\frac{n+2}{n(n+1)} = \frac{b(n+1) + cn}{n(n+1)}$$

両辺に $n(n+1)$ を掛けると、

$$n+2 = b(n+1) + cn$$

$$n+2 = (b+c)n + b$$

この式が任意の $n$ について成り立つためには、両辺の $n$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

したがって、以下の連立方程式が得られます。

$$b+c = 1$$

$$b = 2$$

これらを解くと、

$b=2$, $c = 1-b = 1-2 = -1$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n+2}{n(n+1)2^n}$

(2) $b=2$, $c=-1$