$n$ を自然数とする。$(1+x+x^2+x^3+x^4)^n$ を展開したときの $x^4$ の係数について、以下の問いに答える。 (1) $n=3$ のとき、$x^4$ の係数を求める。 (2) $n=4$ のとき、$x^4$ の係数を求める。 (3) 一般に、$x^4$ の係数を求める。ただし、条件に注意する。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とする。$(1+x+x^2+x^3+x^4)^n$ を展開したときの $x^4$ の係数について、以下の問いに答える。

(1) $n=3$ のとき、$x^4$ の係数を求める。

(2) $n=4$ のとき、$x^4$ の係数を求める。

(3) 一般に、$x^4$ の係数を求める。ただし、条件に注意する。

2. 解き方の手順

(1) $n=3$ のとき、$(1+x+x^2+x^3+x^4)^3$ を展開して $x^4$ の係数を求める。

$x^4$ の項は、以下のようにして得られる。

\begin{itemize}

\item $x^4 \cdot 1 \cdot 1$ (3通り)

\item $x^3 \cdot x \cdot 1$ (6通り)

\item $x^2 \cdot x^2 \cdot 1$ (3通り)

\item $x^2 \cdot x \cdot x$ (3通り)

\item $x \cdot x \cdot x \cdot x$ (1通り)

\end{itemize}

したがって、$x^4$ の係数は $3+6+3+3+1 = 16$ である。

(2) $n=4$ のとき、$(1+x+x^2+x^3+x^4)^4$ を展開して $x^4$ の係数を求める。

$x^4$ の項は、以下のようにして得られる。

\begin{itemize}

\item $x^4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1$ (4通り)

\item $x^3 \cdot x \cdot 1 \cdot 1$ (12通り)

\item $x^2 \cdot x^2 \cdot 1 \cdot 1$ (6通り)

\item $x^2 \cdot x \cdot x \cdot 1$ (12通り)

\item $x \cdot x \cdot x \cdot x$ (1通り)

\end{itemize}

したがって、$x^4$ の係数は $4+12+6+12+1 = 35$ である。

(3) 一般に $(1+x+x^2+x^3+x^4)^n$ の $x^4$ の係数を求める。これは、

$1+x+x^2+x^3+x^4 = \frac{1-x^5}{1-x}$ であるから、

$(1+x+x^2+x^3+x^4)^n = \left( \frac{1-x^5}{1-x} \right)^n = (1-x^5)^n (1-x)^{-n}$ となる。

$(1-x^5)^n$ を展開すると、二項定理より、

$(1-x^5)^n = \sum_{k=0}^n {}_n C_k (-1)^k x^{5k} = 1 - {}_n C_1 x^5 + \cdots$

$(1-x)^{-n}$ を展開すると、

$(1-x)^{-n} = \sum_{k=0}^\infty {}_{-n} C_k (-x)^k = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k {}_n+k-1 C_k (-1)^k x^k = \sum_{k=0}^\infty {}_{n+k-1} C_k x^k$

よって、$x^4$ の係数は ${}_{n+4-1} C_4 = {}_{n+3} C_4 = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4!}$

ただし、$n+3 \ge 4$ より、$n \ge 1$

3. 最終的な答え

(1) 16

(2) 35

(3) $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}$, $n \ge 1$