$(x^2 - 3y)^5$ の展開式における $x^6 y^2$ の項の係数と $x^8 y$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x^2 - 3y)^5$ の展開式における $x^6 y^2$ の項の係数と $x^8 y$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。二項定理は、一般に

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {}_n C_k a^{n-k} b^k$

と表されます。

今回は $(x^2 - 3y)^5$ の展開なので、$a = x^2$, $b = -3y$, $n=5$ として考えます。

(1) $x^6 y^2$ の項の係数

$x^6 y^2$ の項は、$(x^2)^{n-k} (-3y)^k = x^{2(n-k)} (-3)^k y^k$ と表されることから、$2(n-k) = 6$ かつ $k = 2$ となる $k$ を探します。

$k=2$ より、$2(5-2) = 2 \cdot 3 = 6$ となるので、条件を満たします。

したがって、$x^6 y^2$ の項は、${}_5 C_2 (x^2)^{5-2} (-3y)^2 = {}_5 C_2 (x^2)^3 (-3y)^2 = {}_5 C_2 x^6 (9y^2)$ となります。

${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ なので、

$x^6 y^2$ の項は、$10 x^6 (9y^2) = 90 x^6 y^2$ となります。

よって、$x^6 y^2$ の係数は $90$ です。

(2) $x^8 y$ の項の係数

$x^8 y$ の項は、$(x^2)^{n-k} (-3y)^k = x^{2(n-k)} (-3)^k y^k$ と表されることから、$2(n-k) = 8$ かつ $k = 1$ となる $k$ を探します。

$k=1$ より、$2(5-1) = 2 \cdot 4 = 8$ となるので、条件を満たします。

したがって、$x^8 y$ の項は、${}_5 C_1 (x^2)^{5-1} (-3y)^1 = {}_5 C_1 (x^2)^4 (-3y) = {}_5 C_1 x^8 (-3y)$ となります。

${}_5 C_1 = \frac{5!}{1!4!} = 5$ なので、

$x^8 y$ の項は、$5 x^8 (-3y) = -15 x^8 y$ となります。

よって、$x^8 y$ の係数は $-15$ です。

3. 最終的な答え

$x^6 y^2$ の係数は $90$

$x^8 y$ の係数は $-15$