与えられた分数式を部分分数分解し、$A$, $B$, $C$の値を求める問題です。式は次のとおりです。 $\frac{1}{(x-1)^2(x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+3}$

1. 問題の内容

与えられた分数式を部分分数分解し、$A$, $B$, $C$の値を求める問題です。式は次のとおりです。

$\frac{1}{(x-1)^2(x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+3}$

2. 解き方の手順

まず、両辺に$(x-1)^2(x+3)$をかけます。

$1 = A(x-1)(x+3) + B(x+3) + C(x-1)^2$

次に、$x$に特定の値を代入して、$A$, $B$, $C$を求めます。

$x = 1$を代入すると、

$1 = A(0)(4) + B(4) + C(0)$

$1 = 4B$

$B = \frac{1}{4}$

$x = -3$を代入すると、

$1 = A(-4)(0) + B(0) + C(-4)^2$

$1 = 16C$

$C = \frac{1}{16}$

次に、$x=0$を代入して、$A$を求めます。

$1 = A(-1)(3) + B(3) + C(1)$

$1 = -3A + 3B + C$

$1 = -3A + 3(\frac{1}{4}) + \frac{1}{16}$

$1 = -3A + \frac{3}{4} + \frac{1}{16}$

$1 = -3A + \frac{12}{16} + \frac{1}{16}$

$1 = -3A + \frac{13}{16}$

$3A = \frac{13}{16} - 1$

$3A = \frac{13}{16} - \frac{16}{16}$

$3A = -\frac{3}{16}$

$A = -\frac{1}{16}$

3. 最終的な答え

$A = -\frac{1}{16}$, $B = \frac{1}{4}$, $C = \frac{1}{16}$