$a_2 = A\alpha^2 + 2B\alpha\beta + C\beta^2$ および $D = B^2 - AC$ が与えられたとき、以下の3つの命題を示す問題です。 (1) $D < 0$ かつ $A > 0$ ならば、$(\alpha, \beta) \neq (0, 0)$ のとき常に $a_2 > 0$ である。 (2) $D < 0$ かつ $A < 0$ ならば、$(\alpha, \beta) \neq (0, 0)$ のとき常に $a_2 < 0$ である。 (3) $D > 0$ ならば、$a_2$ は適切な $(\alpha, \beta)$ に対して正負の値を取りうる。

1. 問題の内容

$a_2 = A\alpha^2 + 2B\alpha\beta + C\beta^2$ および $D = B^2 - AC$ が与えられたとき、以下の3つの命題を示す問題です。

(1) $D < 0$ かつ $A > 0$ ならば、$(\alpha, \beta) \neq (0, 0)$ のとき常に $a_2 > 0$ である。

(2) $D < 0$ かつ $A < 0$ ならば、$(\alpha, \beta) \neq (0, 0)$ のとき常に $a_2 < 0$ である。

(3) $D > 0$ ならば、$a_2$ は適切な $(\alpha, \beta)$ に対して正負の値を取りうる。

2. 解き方の手順

(1) $D < 0$ かつ $A > 0$ のとき:

$a_2$ を平方完成することを考えます。

$a_2 = A(\alpha^2 + 2\frac{B}{A}\alpha\beta) + C\beta^2 = A(\alpha + \frac{B}{A}\beta)^2 - A\frac{B^2}{A^2}\beta^2 + C\beta^2 = A(\alpha + \frac{B}{A}\beta)^2 + \frac{AC-B^2}{A}\beta^2$

よって、

$a_2 = A(\alpha + \frac{B}{A}\beta)^2 + \frac{-D}{A}\beta^2$

$D < 0$ より $-D > 0$ であり、$A > 0$ より $\frac{-D}{A} > 0$ である。

$(\alpha, \beta) \neq (0, 0)$ なので、$A(\alpha + \frac{B}{A}\beta)^2$ と $\frac{-D}{A}\beta^2$ の少なくとも一方は正の値を取る。

したがって、$a_2 > 0$ である。

(2) $D < 0$ かつ $A < 0$ のとき:

$a_2 = A(\alpha + \frac{B}{A}\beta)^2 + \frac{-D}{A}\beta^2$ (上記(1)と同様)

$D < 0$ より $-D > 0$ であり、$A < 0$ より $\frac{-D}{A} < 0$ である。

$(\alpha, \beta) \neq (0, 0)$ なので、$A(\alpha + \frac{B}{A}\beta)^2$ と $\frac{-D}{A}\beta^2$ の少なくとも一方は負の値を取る。

したがって、$a_2 < 0$ である。

(3) $D > 0$ のとき:

$\alpha = 1$ とすると、

$a_2 = A + 2B\beta + C\beta^2$

これは$\beta$に関する二次関数であり、$C$の符号によって振る舞いが変わります。

$a_2=C\beta^2+2B\beta+A$

$D'=B^2-AC=D>0$より実数解を持ちます。

$\beta_1= \frac{-B - \sqrt{D}}{C}, \beta_2= \frac{-B + \sqrt{D}}{C}$

$a_2$ は適当な $\beta$ に対して正の値も負の値も取ります。例えば、$\beta = 0$とすれば$a_2 = A$であるから、A>0なら$a_2$は正の値を、A<0なら$a_2$は負の値をとりえます。また、D>0より、a2は必ず正負の値を取りえます。

3. 最終的な答え

(1) $D < 0$ かつ $A > 0$ ならば、$(\alpha, \beta) \neq (0, 0)$ のとき常に $a_2 > 0$ である。

(2) $D < 0$ かつ $A < 0$ ならば、$(\alpha, \beta) \neq (0, 0)$ のとき常に $a_2 < 0$ である。

(3) $D > 0$ ならば、$a_2$ は適切な $(\alpha, \beta)$ に対して正負の値を取りうる。