2次方程式 $x^2 - 5x - 10 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とします。$n$ を正の整数とするとき、$a_n = \alpha^n + \beta^n$ とおきます。 (1) $a_{n+2} = \boxed{\phantom{1}} a_{n+1} + \boxed{\phantom{2}} \boxed{\phantom{3}} a_n$ が成り立つような空欄を埋めます。 (2) 以下の推測が正しい場合は 1、正しくない場合は 2 を記入します。 (i) すべての $a_n$ は整数である。 (ii) すべての $a_n$ は偶数である。 (iii) すべての $a_n$ は 5 の倍数である。

代数学二次方程式解と係数の関係漸化式整数の性質
2025/8/4

1. 問題の内容

2次方程式 x25x10=0x^2 - 5x - 10 = 0 の解を α,β\alpha, \beta とします。nn を正の整数とするとき、an=αn+βna_n = \alpha^n + \beta^n とおきます。
(1) an+2=1an+1+23ana_{n+2} = \boxed{\phantom{1}} a_{n+1} + \boxed{\phantom{2}} \boxed{\phantom{3}} a_n が成り立つような空欄を埋めます。
(2) 以下の推測が正しい場合は 1、正しくない場合は 2 を記入します。
(i) すべての ana_n は整数である。
(ii) すべての ana_n は偶数である。
(iii) すべての ana_n は 5 の倍数である。

2. 解き方の手順

(1)
α,β\alpha, \betax25x10=0x^2 - 5x - 10 = 0 の解なので、
α25α10=0\alpha^2 - 5\alpha - 10 = 0 より α2=5α+10\alpha^2 = 5\alpha + 10
β25β10=0\beta^2 - 5\beta - 10 = 0 より β2=5β+10\beta^2 = 5\beta + 10
an+2=αn+2+βn+2=αnα2+βnβ2=αn(5α+10)+βn(5β+10)=5(αn+1+βn+1)+10(αn+βn)=5an+1+10ana_{n+2} = \alpha^{n+2} + \beta^{n+2} = \alpha^n \alpha^2 + \beta^n \beta^2 = \alpha^n(5\alpha + 10) + \beta^n(5\beta + 10) = 5(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) + 10(\alpha^n + \beta^n) = 5a_{n+1} + 10a_n
したがって、an+2=5an+1+10ana_{n+2} = 5a_{n+1} + 10a_n
(2)
まず、a1=α+βa_1 = \alpha + \beta および a2=α2+β2a_2 = \alpha^2 + \beta^2 を計算します。
解と係数の関係より α+β=5\alpha + \beta = 5, αβ=10\alpha\beta = -10
a1=α+β=5a_1 = \alpha + \beta = 5
a2=α2+β2=(α+β)22αβ=522(10)=25+20=45a_2 = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 5^2 - 2(-10) = 25 + 20 = 45
a3=5a2+10a1=5(45)+10(5)=225+50=275a_3 = 5a_2 + 10a_1 = 5(45) + 10(5) = 225 + 50 = 275
a4=5a3+10a2=5(275)+10(45)=1375+450=1825a_4 = 5a_3 + 10a_2 = 5(275) + 10(45) = 1375 + 450 = 1825
a5=5a4+10a3=5(1825)+10(275)=9125+2750=11875a_5 = 5a_4 + 10a_3 = 5(1825) + 10(275) = 9125 + 2750 = 11875
(i) a1=5,a2=45,a3=275,a4=1825,a5=11875a_1 = 5, a_2 = 45, a_3 = 275, a_4 = 1825, a_5 = 11875 なので、ana_n はすべて整数である。よって 1
(ii) a1=5,a2=45,a3=275,a4=1825,a5=11875a_1 = 5, a_2 = 45, a_3 = 275, a_4 = 1825, a_5 = 11875 なので、ana_n はすべて偶数ではない。よって 2
(iii) a1=5,a2=45,a3=275,a4=1825,a5=11875a_1 = 5, a_2 = 45, a_3 = 275, a_4 = 1825, a_5 = 11875 なので、ana_n はすべて 5 の倍数である。よって 1

3. 最終的な答え

(1) an+2=5an+1+10ana_{n+2} = \boxed{5} a_{n+1} + \boxed{1} \boxed{0} a_n
(2) (i) 1
(ii) 2
(iii) 1

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