2次方程式 $x^2 - 5x - 10 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とします。$n$ を正の整数とするとき、$a_n = \alpha^n + \beta^n$ とおきます。 (1) $a_{n+2} = \boxed{\phantom{1}} a_{n+1} + \boxed{\phantom{2}} \boxed{\phantom{3}} a_n$ が成り立つような空欄を埋めます。 (2) 以下の推測が正しい場合は 1、正しくない場合は 2 を記入します。 (i) すべての $a_n$ は整数である。 (ii) すべての $a_n$ は偶数である。 (iii) すべての $a_n$ は 5 の倍数である。
2025/8/4
1. 問題の内容
2次方程式 の解を とします。 を正の整数とするとき、 とおきます。
(1) が成り立つような空欄を埋めます。
(2) 以下の推測が正しい場合は 1、正しくない場合は 2 を記入します。
(i) すべての は整数である。
(ii) すべての は偶数である。
(iii) すべての は 5 の倍数である。
2. 解き方の手順
(1)
は の解なので、
より
より
したがって、
(2)
まず、 および を計算します。
解と係数の関係より ,
(i) なので、 はすべて整数である。よって 1
(ii) なので、 はすべて偶数ではない。よって 2
(iii) なので、 はすべて 5 の倍数である。よって 1
3. 最終的な答え
(1)
(2) (i) 1
(ii) 2
(iii) 1