$\sqrt{6-4\sqrt{2}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{6-4\sqrt{2}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$6-4\sqrt{2}$ を $(a-b)^2$ の形に変形することを試みます。$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ であることを利用します。

$6-4\sqrt{2}$ を $a^2 + b^2 - 2ab$ と比較すると、

$a^2 + b^2 = 6$

$2ab = 4\sqrt{2}$

$ab = 2\sqrt{2}$

となるような $a$ と $b$ を探します。

$a = 2$、$b = \sqrt{2}$ とすると、

$a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 = 4 + 2 = 6$

$ab = 2\sqrt{2}$

となり、条件を満たします。

したがって、$6-4\sqrt{2} = (2-\sqrt{2})^2$ となります。

よって、

$\sqrt{6-4\sqrt{2}} = \sqrt{(2-\sqrt{2})^2} = |2-\sqrt{2}|$

ここで、$2 > \sqrt{2}$ なので、$|2-\sqrt{2}| = 2-\sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$2-\sqrt{2}$