右の図において、直線①は比例、曲線②は反比例のグラフであり、$x > 0$ の範囲で考える。直線①と曲線②の交点Pの座標が (4, 6) であるとき、以下の問いに答える。 (1) 直線①の式を求める。 (2) 曲線②の式を求める。 (3) 曲線②上の点で、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数となる点の座標をすべて求める。 (4) $x$ 軸上に点 Q(12, 0) をとる。点 Q を通り、$y$ 軸に平行な直線をひき、直線①、曲線②との交点をそれぞれ R, S とするとき、三角形 PSR の面積を求める。

1. 問題の内容

右の図において、直線①は比例、曲線②は反比例のグラフであり、$x > 0$ の範囲で考える。直線①と曲線②の交点Pの座標が (4, 6) であるとき、以下の問いに答える。

(1) 直線①の式を求める。

(2) 曲線②の式を求める。

(3) 曲線②上の点で、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数となる点の座標をすべて求める。

(4) $x$ 軸上に点 Q(12, 0) をとる。点 Q を通り、$y$ 軸に平行な直線をひき、直線①、曲線②との交点をそれぞれ R, S とするとき、三角形 PSR の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線①は比例のグラフなので、$y = ax$ と表せる。点 P(4, 6) を通るので、

$6 = 4a$

$a = \frac{3}{2}$

よって、直線①の式は $y = \frac{3}{2}x$ となる。

(2) 曲線②は反比例のグラフなので、$y = \frac{b}{x}$ と表せる。点 P(4, 6) を通るので、

$6 = \frac{b}{4}$

$b = 24$

よって、曲線②の式は $y = \frac{24}{x}$ となる。

(3) 曲線②の式は $y = \frac{24}{x}$ なので、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数となるのは、$x$ が 24 の約数のときである。$x > 0$ であるから、$x$ は 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 をとる。それぞれの $x$ に対する $y$ は、24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1 となる。したがって、曲線②上の点で、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数となる点の座標は、(1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3), (12, 2), (24, 1) である。

(4) 点 Q(12, 0) を通り、$y$ 軸に平行な直線は $x = 12$ である。点 R は直線① $y = \frac{3}{2}x$ 上の点なので、$x = 12$ のとき $y = \frac{3}{2}(12) = 18$ となり、R(12, 18) である。点 S は曲線② $y = \frac{24}{x}$ 上の点なので、$x = 12$ のとき $y = \frac{24}{12} = 2$ となり、S(12, 2) である。点 P(4, 6), R(12, 18), S(12, 2) である。

三角形 PSR の面積を求める。点 P から直線 $x = 12$ までの距離は $12 - 4 = 8$ である。RS の長さは $18 - 2 = 16$ である。したがって、三角形 PSR の面積は、

$\frac{1}{2} \times 8 \times 16 = 64$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{3}{2}x$

(2) $y = \frac{24}{x}$

(3) (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3), (12, 2), (24, 1)

(4) 64