$\alpha, \beta, \alpha\beta$ (ただし $\alpha < 0 < \beta$) の3つの数を適切に並べると等差数列になり、また適切に並べると等比数列になる。このとき、$\alpha$ と $\beta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\alpha, \beta, \alpha\beta$ (ただし $\alpha < 0 < \beta$) の3つの数を適切に並べると等差数列になり、また適切に並べると等比数列になる。このとき、$\alpha$ と $\beta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha, \beta, \alpha\beta$ が等差数列になる場合を考える。このとき、並び方はいくつか考えられるが、$\alpha < 0 < \beta$ であることを考慮すると、並び順によって場合分けする必要がある。

次に、$\alpha, \beta, \alpha\beta$ が等比数列になる場合を考える。同様に、$\alpha < 0 < \beta$ であることを考慮すると、並び順によって場合分けする必要がある。

等差数列の条件と等比数列の条件を組み合わせることで、$\alpha$ と $\beta$ の値を求める。

(1) 等差数列の場合:

等差中項の性質より、並び方によって以下のいずれかの関係が成り立つ。

(i) $2\beta = \alpha + \alpha\beta$

(ii) $2\alpha = \beta + \alpha\beta$

(iii) $2\alpha\beta = \alpha + \beta$

(2) 等比数列の場合:

等比中項の性質より、並び方によって以下のいずれかの関係が成り立つ。

(i) $\beta^2 = \alpha \cdot \alpha\beta = \alpha^2\beta$

(ii) $\alpha^2 = \beta \cdot \alpha\beta = \alpha\beta^2$

(iii) $(\alpha\beta)^2 = \alpha \cdot \beta = \alpha\beta$

$\beta^2 = \alpha^2\beta$ より $\beta = \alpha^2$ ($\beta \neq 0$ より)

$\alpha^2 = \alpha\beta^2$ より $\alpha = \beta^2$ ($\alpha \neq 0$ より)

$(\alpha\beta)^2 = \alpha\beta$ より $\alpha\beta = 1$

(i) 等差数列の場合 $2\beta = \alpha + \alpha\beta$ と等比数列の場合 $\beta=\alpha^2$ を組み合わせる

$2\alpha^2 = \alpha + \alpha^3$

$\alpha^3 - 2\alpha^2 + \alpha = 0$

$\alpha(\alpha^2 - 2\alpha + 1) = 0$

$\alpha(\alpha-1)^2 = 0$

$\alpha < 0$ より、これは不適。

(ii) 等差数列の場合 $2\alpha = \beta + \alpha\beta$ と等比数列の場合 $\beta=\alpha^2$ を組み合わせる

$2\alpha = \alpha^2 + \alpha^3$

$\alpha^3 + \alpha^2 - 2\alpha = 0$

$\alpha(\alpha^2 + \alpha - 2) = 0$

$\alpha(\alpha+2)(\alpha-1) = 0$

$\alpha < 0$ より、$\alpha=-2$

$\beta = \alpha^2 = (-2)^2 = 4$

(iii) 等差数列の場合 $2\alpha\beta = \alpha + \beta$ と等比数列の場合 $\alpha\beta = 1$ を組み合わせる

$2 = \alpha + \beta$

また、$\alpha\beta = 1$ より $\beta = \frac{1}{\alpha}$

$2 = \alpha + \frac{1}{\alpha}$

$2\alpha = \alpha^2 + 1$

$\alpha^2 - 2\alpha + 1 = 0$

$(\alpha-1)^2 = 0$

$\alpha = 1$

しかし、$\alpha < 0$ であるため、これは不適。

したがって、$\alpha = -2$ かつ $\beta = 4$。

このとき、$\alpha, \beta, \alpha\beta$ は $-2, 4, -8$ となる。

等差数列となる並びは $-8, -2, 4$ であり、等比数列となる並びは $-2, 4, -8$ である。

3. 最終的な答え

$\alpha = -2$, $\beta = 4$