ベクトル $\vec{a} = (1, 1)$ と $\vec{b} = (2, 4)$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。ただし、$x$ は実数とします。 (1) $|x\vec{a} + \vec{b}|^2$ を $x$ で表しなさい。 (2) $|x\vec{a} + \vec{b}|$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, 1)$ と $\vec{b} = (2, 4)$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。ただし、$x$ は実数とします。

(1) $|x\vec{a} + \vec{b}|^2$ を $x$ で表しなさい。

(2) $|x\vec{a} + \vec{b}|$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $|x\vec{a} + \vec{b}|^2$ を計算します。

$x\vec{a} + \vec{b} = x(1, 1) + (2, 4) = (x+2, x+4)$

$|x\vec{a} + \vec{b}|^2 = (x+2)^2 + (x+4)^2 = x^2 + 4x + 4 + x^2 + 8x + 16 = 2x^2 + 12x + 20$

(2) $|x\vec{a} + \vec{b}|$ の最小値を求めます。

$|x\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(x+2)^2 + (x+4)^2} = \sqrt{2x^2 + 12x + 20}$

根号の中身である $2x^2 + 12x + 20$ が最小となるとき、$|x\vec{a} + \vec{b}|$ も最小となります。

$2x^2 + 12x + 20 = 2(x^2 + 6x) + 20 = 2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 20 = 2(x+3)^2 - 18 + 20 = 2(x+3)^2 + 2$

したがって、$2(x+3)^2 + 2$ は $x = -3$ のときに最小値 $2$ をとります。

よって、 $|x\vec{a} + \vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{2}$ であり、そのときの $x$ の値は $-3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $|x\vec{a} + \vec{b}|^2 = 2x^2 + 12x + 20$

(2) $|x\vec{a} + \vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{2}$ であり、そのときの $x$ の値は $-3$ です。