$A$ が4次の正方行列であり、その行列式 $|A|$ が5であるとき、$|3 \, ^tA|$ の値を求めます。ここで$^tA$は$A$の転置行列を表します。

1. 問題の内容

$A$ が4次の正方行列であり、その行列式 $|A|$ が5であるとき、|3 \, ^tA| の値を求めます。ここで$^tA$は$A$の転置行列を表します。

2. 解き方の手順

まず、行列式の性質をいくつか確認します。

* 行列 $A$ の転置行列の行列式は、元の行列の行列式と等しい: $|^tA| = |A|$

* $n$次正方行列 $A$ に対して、スカラー $k$ を掛けた行列 $kA$ の行列式は、元の行列の行列式に $k^n$ を掛けたものと等しい: $|kA| = k^n |A|$

これらの性質を使うと、以下の手順で問題を解くことができます。

1. $^tA$ の行列式を計算します。$|A| = 5$ であることから、$|^tA| = |A| = 5$ です。

2. 行列 $3 \, ^tA$ の行列式を計算します。$A$ は4次の正方行列なので、$3 \, ^tA$ も4次の正方行列です。したがって、$|3 \, ^tA| = 3^4 |^tA|$ となります。

3. $|3 \, ^tA| = 3^4 |^tA| = 3^4 |A| = 81 \cdot 5 = 405$ と計算できます。

3. 最終的な答え

405