次の2次関数の与えられた定義域における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^2 - 2x - 5$, $0 \le x \le 3$ (2) $y = x^2 - 2x - 5$, $2 \le x \le 4$ (3) $y = -x^2 + 3x + 1$, $-1 \le x \le 2$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解きます。

1. 問題の内容

次の2次関数の与えられた定義域における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 2x - 5$, $0 \le x \le 3$

(2) $y = x^2 - 2x - 5$, $2 \le x \le 4$

(3) $y = -x^2 + 3x + 1$, $-1 \le x \le 2$

2. 解き方の手順

各2次関数について、平方完成を行い、頂点を求めます。次に、定義域の両端の値と頂点のx座標が定義域に含まれる場合は頂点のy座標を調べ、これらのy座標を比較して最大値と最小値を決定します。

(1) $y = x^2 - 2x - 5$

平方完成すると、$y = (x-1)^2 - 6$ となります。

頂点は $(1, -6)$ であり、これは定義域 $0 \le x \le 3$ に含まれます。

$x = 0$ のとき、$y = 0^2 - 2(0) - 5 = -5$

$x = 3$ のとき、$y = 3^2 - 2(3) - 5 = 9 - 6 - 5 = -2$

頂点のy座標は $-6$ です。

したがって、最大値は $-2$ ($x=3$のとき)、最小値は $-6$ ($x=1$のとき)です。

(2) $y = x^2 - 2x - 5$

平方完成すると、$y = (x-1)^2 - 6$ となります。

頂点は $(1, -6)$ ですが、これは定義域 $2 \le x \le 4$ に含まれません。

$x = 2$ のとき、$y = 2^2 - 2(2) - 5 = 4 - 4 - 5 = -5$

$x = 4$ のとき、$y = 4^2 - 2(4) - 5 = 16 - 8 - 5 = 3$

したがって、最大値は $3$ ($x=4$のとき)、最小値は $-5$ ($x=2$のとき)です。

(3) $y = -x^2 + 3x + 1$

平方完成すると、$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{13}{4}$ となります。

頂点は $(\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$ であり、これは定義域 $-1 \le x \le 2$ に含まれます。

$x = -1$ のとき、$y = -(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -1 - 3 + 1 = -3$

$x = 2$ のとき、$y = -(2)^2 + 3(2) + 1 = -4 + 6 + 1 = 3$

頂点のy座標は $\frac{13}{4} = 3.25$ です。

したがって、最大値は $\frac{13}{4}$ ($x=\frac{3}{2}$のとき)、最小値は $-3$ ($x=-1$のとき)です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $-2$ ($x=3$), 最小値: $-6$ ($x=1$)

(2) 最大値: $3$ ($x=4$), 最小値: $-5$ ($x=2$)

(3) 最大値: $\frac{13}{4}$ ($x=\frac{3}{2}$), 最小値: $-3$ ($x=-1$)