ある集団において10%の人がウイルスXに感染している。試薬Sは、感染者が80%の確率で正しく陽性と判定し、非感染者が5%の確率で誤って陽性と判定する。 (1) ある人が試薬Sで陽性と判定される確率を求める。 (2) 試薬Sで陽性と判定された人が、実際には感染していない確率を求める。

1. 問題の内容

ある集団において10%の人がウイルスXに感染している。試薬Sは、感染者が80%の確率で正しく陽性と判定し、非感染者が5%の確率で誤って陽性と判定する。

(1) ある人が試薬Sで陽性と判定される確率を求める。

(2) 試薬Sで陽性と判定された人が、実際には感染していない確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 試薬Sで陽性と判定される確率は、感染者が正しく陽性と判定される確率と、非感染者が誤って陽性と判定される確率の和で計算できる。

まず、集団からランダムに1人を選んだ時、その人が感染している確率は0.1、感染していない確率は0.9である。

感染者が陽性と判定される確率は、$0.1 \times 0.8 = 0.08$

非感染者が陽性と判定される確率は、$0.9 \times 0.05 = 0.045$

したがって、ある人が陽性と判定される確率は、$0.08 + 0.045 = 0.125$

(2) ベイズの定理を用いて、陽性と判定された人が実際には感染していない確率を求める。

陽性と判定された人が感染していない確率は、$P(\text{非感染}|\text{陽性}) = \frac{P(\text{陽性}|\text{非感染}) \times P(\text{非感染})}{P(\text{陽性})}$

$P(\text{陽性}|\text{非感染}) = 0.05$

$P(\text{非感染}) = 0.9$

$P(\text{陽性}) = 0.125$ (上記(1)で計算)

$P(\text{非感染}|\text{陽性}) = \frac{0.05 \times 0.9}{0.125} = \frac{0.045}{0.125} = \frac{45}{125} = \frac{9}{25} = 0.36$

3. 最終的な答え

(1) 試薬Sで陽性と判定される確率は、0.125

(2) 試薬Sで陽性と判定されたが、実際には感染していない確率は、0.36