A, B, Cの3つの袋がある。Aの袋には白玉3個、赤玉2個、Bの袋には白玉2個、赤玉3個、Cの袋には白玉1個、赤玉4個が入っている。サイコロを投げて1の目が出たら袋A、2,3の目が出たら袋B、4,5,6の目が出たら袋Cを選び、袋の中から1個の玉を取り出す。 (1) 取り出された玉が白玉である確率を求めよ。 (2) 取り出された玉が白玉であるとき、それが袋Cから取り出された玉である確率を求めよ。

1. 問題の内容

A, B, Cの3つの袋がある。Aの袋には白玉3個、赤玉2個、Bの袋には白玉2個、赤玉3個、Cの袋には白玉1個、赤玉4個が入っている。サイコロを投げて1の目が出たら袋A、2,3の目が出たら袋B、4,5,6の目が出たら袋Cを選び、袋の中から1個の玉を取り出す。

(1) 取り出された玉が白玉である確率を求めよ。

(2) 取り出された玉が白玉であるとき、それが袋Cから取り出された玉である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 白玉を取り出す確率

まず、袋A, B, Cを選ぶ確率をそれぞれ計算する。サイコロを投げるので、

袋Aを選ぶ確率は $P(A) = \frac{1}{6}$

袋Bを選ぶ確率は $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

袋Cを選ぶ確率は $P(C) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

次に、それぞれの袋から白玉を取り出す確率を計算する。

袋Aから白玉を取り出す確率は $P(白|A) = \frac{3}{5}$

袋Bから白玉を取り出す確率は $P(白|B) = \frac{2}{5}$

袋Cから白玉を取り出す確率は $P(白|C) = \frac{1}{5}$

求める確率は、それぞれの袋を選ぶ確率と、その袋から白玉を取り出す確率の積の和である。

$P(白) = P(A)P(白|A) + P(B)P(白|B) + P(C)P(白|C)$

$= \frac{1}{6} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}$

$= \frac{3}{30} + \frac{4}{30} + \frac{5}{30}$

$= \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$

(2) 白玉が袋Cから取り出された確率

ベイズの定理を用いる。

$P(C|白) = \frac{P(白|C)P(C)}{P(白)}$

ここで、$P(白|C) = \frac{1}{5}$、$P(C) = \frac{1}{2}$、$P(白) = \frac{2}{5}$である。

$P(C|白) = \frac{\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}}{\frac{2}{5}}$

$= \frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{5}} = \frac{1}{10} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 取り出された玉が白玉である確率は $\frac{2}{5}$

(2) 取り出された玉が白玉であるとき、それが袋Cから取り出された玉である確率は $\frac{1}{4}$