与えられた4x4の行列の行列式を計算します。行列は次のとおりです。 $\begin{bmatrix} 2 & 2 & 5 & 1 \\ 3 & 6 & 8 & 0 \\ -3 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 7 & 2 \end{bmatrix}$

## (3)の問題

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列の行列式を計算します。行列は次のとおりです。

$\begin{bmatrix} 2 & 2 & 5 & 1 \\ 3 & 6 & 8 & 0 \\ -3 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 7 & 2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行や列を使って展開します。ここでは、第4行を使って展開することにします。

$|A| = 1 \cdot C_{41} + 1 \cdot C_{42} + 7 \cdot C_{43} + 2 \cdot C_{44}$

ここで、$C_{ij}$は(i,j)要素に関する余因子です。

$C_{41} = (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 6 & 8 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = - [2(8-0) - 5(6-0) + 1(6-16)] = - [16-30-10] = -[-24] = 24$

$C_{42} = (-1)^{4+2} \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 3 & 8 & 0 \\ -3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(8-0) - 5(3-0) + 1(3*1 - (-3*8)) = 16-15+27 = 28$

$C_{43} = (-1)^{4+3} \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = - [2(6-0) - 2(3-0) + 1(6+18)] = -[12-6+24] = -30$

$C_{44} = (-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 2 & 2 & 5 \\ 3 & 6 & 8 \\ -3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(6-16) - 2(3+24) + 5(6+18) = -20 - 54 + 120 = 46$

よって、

$|A| = 1 \cdot 24 + 1 \cdot 28 + 7 \cdot (-30) + 2 \cdot 46 = 24 + 28 - 210 + 92 = 144 - 210 = -66$

3. 最終的な答え

-66

## (4)の問題

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を計算します。行列は次のとおりです。

$\begin{bmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

この行列はヴァンデルモンド行列と呼ばれるもので、その行列式は $(b-a)(c-a)(c-b)$ で与えられます。

これを直接計算することもできます。

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} = 1(bc^2 - b^2c) - a(c^2-b^2) + a^2(c-b) = bc(c-b) - a(c-b)(c+b) + a^2(c-b) = (c-b)[bc-a(c+b)+a^2] = (c-b)[bc-ac-ab+a^2] = (c-b)[c(b-a)-a(b-a)] = (c-b)(b-a)(c-a) = (b-a)(c-a)(c-b)$

3. 最終的な答え

$(b-a)(c-a)(c-b)$