問題は以下の2つの部分から構成されています。 (1) $f(k) = (pk + q) \cdot 3^k$ とおき、$f(k+1) - f(k) = (2k - 1) \cdot 3^k$ となるような定数 $p, q$ の値を求める。 (2) $\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) \cdot 3^k$ を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の2つの部分から構成されています。

(1) $f(k) = (pk + q) \cdot 3^k$ とおき、$f(k+1) - f(k) = (2k - 1) \cdot 3^k$ となるような定数 $p, q$ の値を求める。

(2) $\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) \cdot 3^k$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(k+1)$ を計算します。

$f(k+1) = (p(k+1) + q) \cdot 3^{k+1} = (pk + p + q) \cdot 3^{k+1}$

次に、$f(k+1) - f(k)$ を計算します。

$f(k+1) - f(k) = (pk + p + q) \cdot 3^{k+1} - (pk + q) \cdot 3^k$

$= 3(pk + p + q) \cdot 3^k - (pk + q) \cdot 3^k$

$= (3pk + 3p + 3q - pk - q) \cdot 3^k$

$= (2pk + 3p + 2q) \cdot 3^k$

これが $(2k - 1) \cdot 3^k$ に等しいので、係数を比較して以下の連立方程式を得ます。

$2p = 2$

$3p + 2q = -1$

最初の式から $p = 1$ が得られます。

これを2番目の式に代入すると、

$3(1) + 2q = -1$

$2q = -4$

$q = -2$

したがって、$p = 1$, $q = -2$ となります。

(2) (1) の結果を利用して、$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) \cdot 3^k$ を計算します。

$f(k+1) - f(k) = (2k - 1) \cdot 3^k$ でしたので、

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) \cdot 3^k = \sum_{k=1}^{n} (f(k+1) - f(k))$

これは telescoping sum になっているので、

$\sum_{k=1}^{n} (f(k+1) - f(k)) = f(n+1) - f(1)$

$f(k) = (pk + q) \cdot 3^k = (k - 2) \cdot 3^k$ であるから、

$f(n+1) = (n+1-2) \cdot 3^{n+1} = (n-1) \cdot 3^{n+1}$

$f(1) = (1-2) \cdot 3^1 = -3$

よって、

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) \cdot 3^k = (n-1) \cdot 3^{n+1} - (-3) = (n-1) \cdot 3^{n+1} + 3$

3. 最終的な答え

(1) $p = 1$, $q = -2$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) \cdot 3^k = (n-1)3^{n+1} + 3$