与えられた行列について、固有値と固有ベクトルを求める問題です。 (1) $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$ (2) $B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

はい、承知いたしました。与えられた問題について、固有値と固有ベクトルを求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列について、固有値と固有ベクトルを求める問題です。

(1) $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$

(2) $B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

* 固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 \\ 2 & 6-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)(6-\lambda) - 4 = \lambda^2 - 9\lambda + 18 - 4 = \lambda^2 - 9\lambda + 14 = (\lambda - 2)(\lambda - 7) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 7$ です。

* 固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 2$ のとき、$(A - 2I)v_1 = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x + 2y = 0$ より、$x = -2y$。固有ベクトルは $v_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ (または定数倍)

$\lambda_2 = 7$ のとき、$(A - 7I)v_2 = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-4x + 2y = 0$ より、$y = 2x$。固有ベクトルは $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ (または定数倍)

(2) 行列 $B$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

* 固有方程式 $|B - \lambda I| = 0$ を解きます。

$|B - \lambda I| = \begin{vmatrix} -\lambda & 2 & 2 \\ 2 & -1-\lambda & 0 \\ 2 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda \begin{vmatrix} -1-\lambda & 0 \\ 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1-\lambda \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 2 & -1-\lambda \\ 2 & 0 \end{vmatrix}$

$= -\lambda(-1-\lambda)(1-\lambda) - 2(2(1-\lambda)) + 2(2(1+\lambda)) = -\lambda(-1 + \lambda^2) - 4 + 4\lambda + 4 + 4\lambda = \lambda - \lambda^3 + 8\lambda = -\lambda^3 + 9\lambda = -\lambda(\lambda^2 - 9) = -\lambda(\lambda - 3)(\lambda + 3) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = -3$ です。

* 固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 0$ のとき、$(B - 0I)v_1 = Bv_1 = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$2y + 2z = 0$ より $y = -z$。

$2x - y = 0$ より $2x = y = -z$。よって $x = -z/2$.

固有ベクトルは $v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix}$ (または定数倍)

$\lambda_2 = 3$ のとき、$(B - 3I)v_2 = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$2x - 4y = 0$ より $x = 2y$。

$2x - 2z = 0$ より $x = z$。よって $z = x = 2y$。

$-3x + 2y + 2z = -3x + 2y + 2x = -x + 2y = -2y + 2y = 0$.

固有ベクトルは $v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ (または定数倍)

$\lambda_3 = -3$ のとき、$(B + 3I)v_3 = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$2x + 2y = 0$ より $y = -x$。

$2x + 4z = 0$ より $x = -2z$。よって $y = 2z$.

$3x + 2y + 2z = -6z + 4z + 2z = 0$。

固有ベクトルは $v_3 = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ (または定数倍)

3. 最終的な答え

(1) 行列 $A$ の固有値と固有ベクトルは以下の通りです。

* 固有値: $\lambda_1 = 2$, 固有ベクトル: $v_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$

* 固有値: $\lambda_2 = 7$, 固有ベクトル: $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

(2) 行列 $B$ の固有値と固有ベクトルは以下の通りです。

* 固有値: $\lambda_1 = 0$, 固有ベクトル: $v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix}$

* 固有値: $\lambda_2 = 3$, 固有ベクトル: $v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

* 固有値: $\lambda_3 = -3$, 固有ベクトル: $v_3 = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$