2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 1$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 1$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数の最大値を求めるためには、平方完成をして頂点の座標を求める必要があります。

まず、$x^2$の係数で$x$の項までをくくり出します。

$y = -2(x^2 + 2x) + 1$

次に、括弧の中を平方完成します。

$x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$

これを元の式に代入すると、

$y = -2((x+1)^2 - 1) + 1$

括弧を外して整理します。

$y = -2(x+1)^2 + 2 + 1$

$y = -2(x+1)^2 + 3$

この式から、頂点の座標は $(-1, 3)$ であることがわかります。

また、$x^2$の係数が負であるため、上に凸のグラフであることもわかります。

したがって、頂点の$y$座標が最大値となります。

3. 最終的な答え

最大値は3