2次不等式 $x^2 - 2ax - 4a - 3 < 0$ が解を持たないときの $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 - 2ax - 4a - 3 < 0$ が解を持たないときの $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2 - 2ax - 4a - 3 < 0$ が解を持たないということは、すべての $x$ に対して $x^2 - 2ax - 4a - 3 \ge 0$ が成り立つということです。

これは、2次関数 $y = x^2 - 2ax - 4a - 3$ のグラフが常に $x$ 軸の上側にあるか、または $x$ 軸に接することを意味します。

したがって、判別式 $D$ が $D \le 0$ である必要があります。

判別式 $D$ は、

$D = (-2a)^2 - 4(1)(-4a - 3)$

$D = 4a^2 + 16a + 12$

$D = 4(a^2 + 4a + 3)$

$D \le 0$ となる $a$ の範囲を求めるので、

$4(a^2 + 4a + 3) \le 0$

$a^2 + 4a + 3 \le 0$

$(a + 1)(a + 3) \le 0$

したがって、$a$ の範囲は $-3 \le a \le -1$ となります。

3. 最終的な答え

$-3 \le a \le -1$