頂点が$(-2, -3)$で、点$(2, 5)$を通る2次関数を求めます。

1. 問題の内容

頂点が$(-2, -3)$で、点$(2, 5)$を通る2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

2次関数の頂点の座標が分かっているので、まず2次関数を以下の形でおきます。

$y = a(x - h)^2 + k$

ここで、頂点の座標は$(h, k)$です。問題文より、頂点は$(-2, -3)$なので、$h = -2$、$k = -3$を代入します。

$y = a(x - (-2))^2 - 3$

$y = a(x + 2)^2 - 3$

次に、この2次関数が点$(2, 5)$を通るという条件を使います。つまり、$x = 2$のとき、$y = 5$となるので、これを代入して$a$の値を求めます。

$5 = a(2 + 2)^2 - 3$

$5 = a(4)^2 - 3$

$5 = 16a - 3$

$8 = 16a$

$a = \frac{8}{16}$

$a = \frac{1}{2}$

よって、$a = \frac{1}{2}$を代入すると、2次関数は次のようになります。

$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 3$

最後に、これを展開して整理します。

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4) - 3$

$y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + 2 - 3$

$y = \frac{1}{2}x^2 + 2x - 1$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}x^2 + 2x - 1$