放物線 $y = x^2 + 2x - 2$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動すると、放物線 $y = x^2 - 6x + 10$ に重なる。このとき、$a$, $b$ に適する数の組み合わせを求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 2x - 2$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動すると、放物線 $y = x^2 - 6x + 10$ に重なる。このとき、$a$, $b$ に適する数の組み合わせを求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2つの放物線を平方完成する。

最初の放物線 $y = x^2 + 2x - 2$ を平方完成すると、

$y = (x + 1)^2 - 1 - 2$

$y = (x + 1)^2 - 3$

頂点は $(-1, -3)$ である。

次の放物線 $y = x^2 - 6x + 10$ を平方完成すると、

$y = (x - 3)^2 - 9 + 10$

$y = (x - 3)^2 + 1$

頂点は $(3, 1)$ である。

放物線 $y = x^2 + 2x - 2$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動すると、$y = x^2 - 6x + 10$ に重なるので、頂点も同様に移動する。

頂点 $(-1, -3)$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動すると、頂点 $(3, 1)$ になるので、

$-1 + a = 3$

$-3 + b = 1$

これらの式から $a$ と $b$ を求める。

$a = 3 + 1 = 4$

$b = 1 + 3 = 4$

3. 最終的な答え

$a = 4$, $b = 4$