連立不等式 $x^2 + 4y^2 \le 4$ と $x + 2y \ge 2$ の表す領域をDとします。点 $(x, y)$ が D 内を動くとき、$2x + y$ の最小値と最大値を求め、それぞれのときの $x, y$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

連立不等式 $x^2 + 4y^2 \le 4$ と $x + 2y \ge 2$ の表す領域をDとします。点 $(x, y)$ が D 内を動くとき、$2x + y$ の最小値と最大値を求め、それぞれのときの $x, y$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、領域Dを図示します。

$x^2 + 4y^2 \le 4$ は $\frac{x^2}{4} + y^2 \le 1$ と変形できます。これは楕円の内部を表します。

$x + 2y \ge 2$ は $y \ge -\frac{1}{2}x + 1$ と変形できます。これは直線 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ の上側を表します。

これらの領域を組み合わせることで領域Dを得ます。領域Dは楕円 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ と直線 $x + 2y = 2$ で囲まれた部分です。

直線 $x+2y=2$ は $y = -\frac{1}{2}x + 1$ であり、楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2 = 1$ に $y = -\frac{1}{2}x + 1$ を代入すると、

$\frac{x^2}{4} + (-\frac{1}{2}x + 1)^2 = 1$

$\frac{x^2}{4} + \frac{1}{4}x^2 - x + 1 = 1$

$\frac{1}{2}x^2 - x = 0$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x-2) = 0$

$x = 0, 2$

したがって、交点は $(0, 1)$ と $(2, 0)$ です。

$k = 2x + y$ とおきます。$y = -2x + k$ より、この直線と領域 D が共有点を持つような $k$ の範囲を求めます。

直線 $y = -2x + k$ が点 $(0, 1)$ を通るとき、$1 = -2(0) + k$ より $k = 1$ 。

直線 $y = -2x + k$ が点 $(2, 0)$ を通るとき、$0 = -2(2) + k$ より $k = 4$ 。

$k = 2x + y$ が最小となるのは、領域Dにおいて傾き$-2$の直線がもっとも下に来るときなので、$k = 1$, その時の座標は $(0, 1)$。

$k = 2x + y$ が最大となるのは、領域Dにおいて傾き$-2$の直線がもっとも上に来るときなので、$k = 4$, その時の座標は $(2, 0)$。

3. 最終的な答え

最小値は $1$ であり、そのときの $x, y$ は $x = 0, y = 1$ である。

最大値は $4$ であり、そのときの $x, y$ は $x = 2, y = 0$ である。