100以下の自然数の中で、2で割っても3で割っても1余る数を小さい順に並べた数列を考える。この数列が等差数列となる時、初項、公差、項数を求めよ。

1. 問題の内容

100以下の自然数の中で、2で割っても3で割っても1余る数を小さい順に並べた数列を考える。この数列が等差数列となる時、初項、公差、項数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2で割っても3で割っても1余る数は、6で割ると1余る数である。

1から100までの自然数で、6で割ると1余る数を小さい順に並べると、1, 7, 13, ..., 91, 97 となる。

この数列は等差数列であり、初項は1である。

公差は隣り合う項の差から、7 - 1 = 6 となる。

次に、項数を求める。第n項が97であるとすると、等差数列の一般項の公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ を用いる。ここで、$a_n = 97$, $a_1 = 1$, $d = 6$ である。

よって、$97 = 1 + (n-1)6$ となる。

これを解くと、$97 = 1 + 6n - 6$ より、$97 = 6n - 5$ となり、$6n = 102$ である。

したがって、$n = 17$ となる。

別解として、2で割っても3で割っても1余る数は、$6n + 1$ （$n = 0, 1, 2, ...$）と表せる。

ここで、$1 \leq 6n + 1 \leq 100$ である。

これを解くと、$0 \leq 6n \leq 99$ より、$0 \leq n \leq \frac{99}{6} = \frac{33}{2} = 16.5$ となる。

したがって、$0 \leq n \leq 16$ となる。

初項は $n = 0$ のとき、$6(0) + 1 = 1$ である。

$n$ が1増えると、$6n + 1$ は6増えるので、公差は6である。

項数は、$16 - 0 + 1 = 17$ となる。

3. 最終的な答え

初項：1

公差：6

項数：17