自然数 $n$ と $28$ の最小公倍数が $168$ であるような $n$ を全て求める問題です。$n=ab$ とおき、$n$ と $28$ の最大公約数を $a$ とします。

1. 問題の内容

自然数 $n$ と $28$ の最小公倍数が $168$ であるような $n$ を全て求める問題です。$n=ab$ とおき、$n$ と $28$ の最大公約数を $a$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$28 = 2^2 \times 7$ であることを利用して、$n$ と $28$ をある数 $a$ で割った商をそれぞれ $b$ と $\frac{2^2 \times 7}{a}$ とします。

$n$ と $28$ の最小公倍数は、$ab \cdot \frac{2^2 \times 7}{a} = 168$ と表されます。

これから、$b \cdot (2^2 \times 7) = 168$ となり、$28b = 168$ となります。したがって、$b = \frac{168}{28} = 6$ となります。

次に、$b=6$ と $\frac{2^2 \times 7}{a}$ が互いに素であるという条件から、$6$ と $\frac{28}{a}$ が互いに素である必要があります。

$a$ は $28$ の約数であるため、$a$ の候補は $1, 2, 4, 7, 14, 28$ です。

それぞれの $a$ について $\frac{28}{a}$ を計算します。

* $a=1$ のとき、$\frac{28}{1} = 28$ であり、$6$ と $28$ は互いに素ではありません。

* $a=2$ のとき、$\frac{28}{2} = 14$ であり、$6$ と $14$ は互いに素ではありません。

* $a=4$ のとき、$\frac{28}{4} = 7$ であり、$6$ と $7$ は互いに素です。

* $a=7$ のとき、$\frac{28}{7} = 4$ であり、$6$ と $4$ は互いに素ではありません。

* $a=14$ のとき、$\frac{28}{14} = 2$ であり、$6$ と $2$ は互いに素ではありません。

* $a=28$ のとき、$\frac{28}{28} = 1$ であり、$6$ と $1$ は互いに素です。

したがって、$a=4$ または $a=28$ です。

$n = ab$ なので、

* $a=4$ のとき、$n = 4 \times 6 = 24$

* $a=28$ のとき、$n = 28 \times 6 = 168$

3. 最終的な答え

$n=24, 168$