2から12までの数字が書かれた11枚のカードから3枚を同時に取り出す。取り出した3枚のカードに書かれた数字について、以下の問いに答える。 (1) 3つの数字の最大公約数を $x$ とするとき、$x$ の値として起こりうるものを全て求める。 (2) 3つの数字の最大公約数が4である確率を求める。 (3) 3つの数字の最小公倍数が12である確率を求める。 (4) 3つの数字の最小公倍数と3つの数字の最大値が等しい確率を求める。 (5) 3つの数字の最大公約数が2であるとき、3つの数字の最小値が2でない確率を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2から12までの数字が書かれた11枚のカードから3枚を同時に取り出す。取り出した3枚のカードに書かれた数字について、以下の問いに答える。

(1) 3つの数字の最大公約数を $x$ とするとき、$x$ の値として起こりうるものを全て求める。

(2) 3つの数字の最大公約数が4である確率を求める。

(3) 3つの数字の最小公倍数が12である確率を求める。

(4) 3つの数字の最小公倍数と3つの数字の最大値が等しい確率を求める。

(5) 3つの数字の最大公約数が2であるとき、3つの数字の最小値が2でない確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3つの数字の最大公約数としてありうる値を考える。

最小の数字は2であるから、最大公約数は最大でも2,3,4のいずれかになる。

実際にありうるか確認する。

最大公約数が1の場合：2, 3, 5 (例えば)

最大公約数が2の場合：2, 4, 6 (例えば)

最大公約数が3の場合：3, 6, 9 (例えば)

最大公約数が4の場合：4, 8, 12 (例えば)

(2) 全ての組み合わせの数は $_{11}C_3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$ 通り。

最大公約数が4となるのは、3つの数字が4の倍数であり、最大公約数が4である場合。

4の倍数は4, 8, 12 の3つのみ。これらを選ぶ組み合わせは、4,8,12 の1通りしかないので、確率は $\frac{1}{165}$。

(3) 最小公倍数が12となる組み合わせを考える。

3つの数字は12の約数である必要がある。12の約数は1, 2, 3, 4, 6, 12。

選ぶ3つの数字は、少なくとも1つは12, 他に6が含まれるか、3と4が含まれるか、3と2が含まれれば良い。

(12, 1, 1), (12, 1, 2)...(12, 11, 12)

(12, 6, x): xは1以外

(12, 4, 3):

(6,4,3)とかでも良い

12が必ず含まれる場合：(12, a, b) a,bは2~11の中から選ぶ (ただしa,bは12の約数である必要がある).

組み合わせは (3, 4, 12), (2, 6, 12), (4, 6, 12)

3つの数字の最小公倍数が12となる組み合わせは、(3,4,6), (3, 4, 12), (2, 3, 4), (2, 6, x), (3, 4, x)。

これらの組み合わせは少ないので、全パターンを書き出してみる。

(3,4,6), (3,4,8), (3,4,9), (3,4,10), (3,4,11), (3,4,12),

(2,3,4), (2,3,6), (2,3,8), (2,3,9), (2,3,10), (2,3,11), (2,3,12),

(2,4,6), (2,4,8), (2,4,9), (2,4,10), (2,4,11), (2,4,12),

(2,6,12), (3,6,4), (3,8,12), (4,6,10)

(4)

(5)

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, 2, 3, 4$

(2) $\frac{1}{165}$

(3)

(4)

(5)