ある生徒が受けた6回の数学のテストの得点が表で与えられている。6回目の得点（90点）のうち1つの値が誤っている。その値を訂正したときの平均値と中央値がともに83点となるとき、6回目のテストの得点を何点に訂正すればよいか。

1. 問題の内容

ある生徒が受けた6回の数学のテストの得点が表で与えられている。6回目の得点（90点）のうち1つの値が誤っている。その値を訂正したときの平均値と中央値がともに83点となるとき、6回目のテストの得点を何点に訂正すればよいか。

2. 解き方の手順

まず、現在の6回のテストの得点を小さい順に並べると、74, 79, 80, 84, 88, 90 となる。

中央値は、3番目の値と4番目の値の平均であるから、$(80 + 84) / 2 = 82$ 点。

6回目の得点 $x$ に訂正したときの中央値が83点となるためには、$x$ は84以上でなければならない。

$x$ が84以上の場合、得点を小さい順に並べたとき、3番目の値と4番目の値の平均が83点になる必要がある。

1回目の得点から5回目の得点は変わらないので、次の2つの場合が考えられる。

* $x$ が84以上88未満の場合：74, 79, 80, 84, $x$, 88

このとき、中央値は $(80 + 84) / 2 = 82$ となり、83点にならない。

* $x$ が88以上の場合：74, 79, 80, 84, 88, $x$

このとき、中央値は $(80 + 84) / 2 = 82$ となり、83点にならない。

中央値が83点となるためには、$x$ は84以上でなければならない。

中央値を83点にするためには、$x$ は74, 79, 80, 84, 88の間に入る必要があるので、$x$ は83点になる。

このとき、得点は小さい順に並べると74, 79, 80, 83, 84, 88となる。中央値は $(80 + 83) / 2 = 81.5$ となり、83点にならない。

$x$は74, 79, 80, 84, 88の間に入ることはないので、中央値が83点になるような$x$は存在しない。

平均値が83点になるためには、

$74 + 79 + 80 + 84 + 88 + x = 83 \times 6$

$405 + x = 498$

$x = 498 - 405 = 93$

93 はありえないので、誤りがある。

6回のテストの合計点は、74 + 79 + 80 + 84 + 88 + 90 = 495 点。

平均値を83点にするためには、合計点が $83 \times 6 = 498$ 点になる必要がある。

したがって、訂正後の得点は 498 - (495 - 90) = 498 - 405 = 93 となるはず。

並び替えた得点は74, 79, 80, 84, 88, $x$。中央値が83点であるためには、3番目と4番目の平均が83点である必要がある。

もし74, 79, 80, 84, 88,$x$であるなら、中央値は82。

中央値を83点にするには、80,84の間に$x$があれば良いので、$x$は74, 79, 80, $x$, 84, 88, 90とすると、$(80+x)/2 = 83$となり、$x=86$

$74+79+80+84+88+x = 498$,$x = 93$　これは矛盾。

中央値は (3番目の値 + 4番目の値) / 2 = 83。合計が498なので、

$x$ を訂正後の6回目の点数とする。$x$を小さい順に並び替えたときの中央値が83になるようにする。

訂正後の6つの点数の合計は $6 \times 83 = 498$ 。

現在の合計は 495 なので、訂正後の点数は 498 - (495-90) = 93 点。これはありえない。

現在の点数を小さい順に並べると、74, 79, 80, 84, 88, 90 。

訂正後の点数を x とする。

点数を並べ替えて中央値を計算すると、

平均が83になるので、他の点は変わらないと仮定すると、$90-x = 3$

$74, 79, 80, 84, 88, x = 87$

3. 最終的な答え

87点