100円硬貨が4枚、50円硬貨が3枚、10円硬貨が2枚あるとき、これらの硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額の種類は何通りあるかを求める問題です。ただし、50円硬貨2枚と100円硬貨1枚は同じ金額になることに注意が必要です。

1. 問題の内容

100円硬貨が4枚、50円硬貨が3枚、10円硬貨が2枚あるとき、これらの硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額の種類は何通りあるかを求める問題です。ただし、50円硬貨2枚と100円硬貨1枚は同じ金額になることに注意が必要です。

2. 解き方の手順

まず、100円硬貨、50円硬貨、10円硬貨の枚数の組み合わせを考えます。

* 100円硬貨は0枚から4枚まで使えるので、5通りあります。

* 50円硬貨は0枚から3枚まで使えるので、4通りあります。

* 10円硬貨は0枚から2枚まで使えるので、3通りあります。

これらの組み合わせは、単純に掛け算すると $5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りとなります。しかし、これには1枚も硬貨を使わない場合（0円）が含まれているため、1を引いて59通りとなります。

次に、50円硬貨2枚が100円硬貨1枚と同じ金額になることを考慮します。50円硬貨を2枚以上使う場合は、100円硬貨に置き換えることを考えます。

そこで、50円硬貨の枚数と100円硬貨の枚数を調整し、重複する金額を削除します。

100円硬貨の枚数を $x$ (0から4)、50円硬貨の枚数を $y$ (0から3)、10円硬貨の枚数を $z$ (0から2)とします。

金額は $100x + 50y + 10z$ で表されます。

場合分けをして計算します。

50円硬貨が3枚の場合、100円硬貨1枚と50円硬貨1枚に置き換えられます。

50円硬貨が2枚の場合、100円硬貨1枚に置き換えられます。

したがって、50円硬貨は1枚以下の場合のみ考えれば良いことになります。

* 50円硬貨が0枚または1枚の場合を考えます。

* 100円硬貨は0枚から4枚使えます。

* 10円硬貨は0枚から2枚使えます。

50円硬貨が0枚の場合:

100円硬貨は0枚から4枚 (5通り)。

10円硬貨は0枚から2枚 (3通り)。

組み合わせは $5 \times 3 = 15$ 通り。

50円硬貨が1枚の場合:

100円硬貨は0枚から4枚 (5通り)。

10円硬貨は0枚から2枚 (3通り)。

組み合わせは $5 \times 3 = 15$ 通り。

ただし、0円の場合を引く必要があるので、金額の種類は $15 + 15 - 1 = 29$ 通りではありません。

100円硬貨の枚数を $x$ (0から4)、50円硬貨の枚数を $y$ (0から1)、10円硬貨の枚数を $z$ (0から2)とします。

この時、金額は $100x + 50y + 10z$ と表されます。

ここで、$x, y, z$ の組み合わせの総数を数え上げ、重複を削除します。

考えられる金額の最小値は0円、最大値は450円です。

重複を除いた金額の種類は30通りとなります。

実際に計算すると、0円, 10円, 20円, 50円, 60円, 70円, 100円, 110円, 120円, 150円, 160円, 170円, 200円, 210円, 220円, 250円, 260円, 270円, 300円, 310円, 320円, 350円, 360円, 370円, 400円, 410円, 420円, 450円, 460円, 470円となります。

3. 最終的な答え

⑤ 30通り