与えられた3つの数 $\sqrt{32}$, $\sqrt[3]{16}$, $\sqrt{8}$ の大小を不等号を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの数 $\sqrt{32}$, $\sqrt[3]{16}$, $\sqrt{8}$ の大小を不等号を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの数を同じ指数を持つ累乗根の形に変形します。

今回は、6乗根で表すことを目指します。

* \sqrt{32} = 32^{\frac{1}{2}} = (32^3)^{\frac{1}{6}} = (2^5)^3^{\frac{1}{6}} = 2^{15^{\frac{1}{6}}} = (2^{15})^{\frac{1}{6}}

$2^{15} = 32768$

* \sqrt[3]{16} = 16^{\frac{1}{3}} = (16^2)^{\frac{1}{6}} = (2^4)^2^{\frac{1}{6}} = (2^8)^{\frac{1}{6}}

$2^8 = 256$

* \sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}} = (8^3)^{\frac{1}{6}} = (2^3)^3^{\frac{1}{6}} = (2^9)^{\frac{1}{6}}

$2^9 = 512$

それぞれの数を6乗根で表すと、$\sqrt{32} = (32768)^{\frac{1}{6}}$, $\sqrt[3]{16} = (256)^{\frac{1}{6}}$, $\sqrt{8} = (512)^{\frac{1}{6}}$ となります。

6乗根の中身の大小関係を比較すると、$256 < 512 < 32768$ となるので、$\sqrt[3]{16} < \sqrt{8} < \sqrt{32}$となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt[3]{16} < \sqrt{8} < \sqrt{32}$