横が縦より5cm長い長方形の厚紙があります。この厚紙の4隅から1辺が2cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ると、その容積は1092 $cm^3$になります。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めなさい。

1. 問題の内容

横が縦より5cm長い長方形の厚紙があります。この厚紙の4隅から1辺が2cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ると、その容積は1092 $cm^3$になります。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めなさい。

2. 解き方の手順

1. はじめの厚紙の縦の長さを$x$ cmとおきます。すると、横の長さは$(x+5)$ cmと表せます。

2. 4隅から1辺が2cmの正方形を切り取って直方体の容器を作ると、底面の縦の長さは$(x-4)$ cm、横の長さは$(x+5-4)=(x+1)$ cm、高さは2cmになります。

3. この直方体の容積は、

$$(x-4)(x+1)(2) = 1092$$

と表せます。

4. 上記の式を解いて$x$を求めます。まず、両辺を2で割ると、

$$(x-4)(x+1) = 546$$

展開すると、

$$x^2 - 3x - 4 = 546$$

$$x^2 - 3x - 550 = 0$$

これを因数分解すると、

$$(x-25)(x+22) = 0$$

したがって、$x = 25$または$x = -22$となります。

5. $x$は長さを表すので、$x>0$でなければなりません。よって、$x = 25$となります。

6. はじめの厚紙の縦の長さは25cm、横の長さは$25+5=30$cmです。

3. 最終的な答え

はじめの厚紙の縦の長さは25cm、横の長さは30cmです。