与えられた3つの数、$\sqrt[4]{32}$、$\sqrt[3]{16}$、$\sqrt{8}$の大小関係を不等号を用いて表す。

1. 問題の内容

与えられた3つの数、$\sqrt[4]{32}$、$\sqrt[3]{16}$、$\sqrt{8}$の大小関係を不等号を用いて表す。

2. 解き方の手順

それぞれの数をできるだけ簡単な形に変形し、比較しやすいように指数表示に変換する。

* $\sqrt[4]{32} = 32^{\frac{1}{4}} = (2^5)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{4}}$

* $\sqrt[3]{16} = 16^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$

* $\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

これらの指数部分を比較するために、分母を揃える。分母の最小公倍数は12なので、以下のように変形する。

* $2^{\frac{5}{4}} = 2^{\frac{15}{12}}$

* $2^{\frac{4}{3}} = 2^{\frac{16}{12}}$

* $2^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{18}{12}}$

指数部分を比較すると、$\frac{15}{12} < \frac{16}{12} < \frac{18}{12}$であるから、元の数の大小関係は以下のようになる。

$\sqrt[4]{32} < \sqrt[3]{16} < \sqrt{8}$

3. 最終的な答え

$\sqrt[4]{32} < \sqrt[3]{16} < \sqrt{8}$