次の3つの数、$\sqrt[6]{243}$, $\sqrt[3]{81}$, $3$ の大小を不等号を用いて表す。

1. 問題の内容

次の3つの数、$\sqrt[6]{243}$, $\sqrt[3]{81}$, $3$ の大小を不等号を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、すべての数を同じ指数の累乗根の形に変形する。それぞれの数の素因数分解を行う。

$243 = 3^5$, $81 = 3^4$, $3 = 3^1$

したがって、与えられた数はそれぞれ

$\sqrt[6]{243} = \sqrt[6]{3^5} = 3^{\frac{5}{6}}$

$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = 3^{\frac{4}{3}}$

$3 = 3^1$

指数を比較しやすいように、分母を揃える。

$\frac{5}{6}$, $\frac{4}{3} = \frac{8}{6}$, $1 = \frac{6}{6}$

したがって、

$3^{\frac{5}{6}}$, $3^{\frac{8}{6}}$, $3^{\frac{6}{6}}$

指数の大小は $\frac{5}{6} < \frac{6}{6} < \frac{8}{6}$ なので、

$3^{\frac{5}{6}} < 3^{\frac{6}{6}} < 3^{\frac{8}{6}}$

元の表記に戻すと、

$\sqrt[6]{243} < 3 < \sqrt[3]{81}$

3. 最終的な答え

$\sqrt[6]{243} < 3 < \sqrt[3]{81}$