問題は、$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えるものです。 (1) $a$ と $b$ の値を求めなさい。 (2) $b+\frac{1}{b}$ と $b^2 + \frac{1}{b^2}$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えるものです。

(1) $a$ と $b$ の値を求めなさい。

(2) $b+\frac{1}{b}$ と $b^2 + \frac{1}{b^2}$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ を有理化します。分母と分子に $\sqrt{5}+2$ を掛けると、

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$\sqrt{5}$ は、 $2 < \sqrt{5} < 3$ を満たすので、$2 < \sqrt{5} < 3$ です。したがって、

$4 < \sqrt{5} + 2 < 5$ となります。

よって、整数部分 $a = 4$ です。小数部分 $b$ は、$(\sqrt{5}+2) - 4 = \sqrt{5}-2$ となります。

(2)

$b = \sqrt{5}-2$ なので、$\frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \sqrt{5}+2$ です。

したがって、

$b + \frac{1}{b} = (\sqrt{5}-2) + (\sqrt{5}+2) = 2\sqrt{5}$

次に、$b^2 + \frac{1}{b^2}$ を求めます。

$(b + \frac{1}{b})^2 = b^2 + 2 + \frac{1}{b^2}$ であるから、

$b^2 + \frac{1}{b^2} = (b + \frac{1}{b})^2 - 2$

$b + \frac{1}{b} = 2\sqrt{5}$ を代入すると、

$b^2 + \frac{1}{b^2} = (2\sqrt{5})^2 - 2 = 4 \times 5 - 2 = 20 - 2 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $a=4$, $b=\sqrt{5}-2$

(2) $b+\frac{1}{b} = 2\sqrt{5}$, $b^2 + \frac{1}{b^2} = 18$