5つの数字0, 1, 2, 3, 4を使ってできる、各位の数字がすべて異なる5桁の整数を小さい順に並べたとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 43210は何番目か。 (2) 90番目の数は何か。 (3) 30142は何番目か。 (4) 70番目の数は何か。

1. 問題の内容

5つの数字0, 1, 2, 3, 4を使ってできる、各位の数字がすべて異なる5桁の整数を小さい順に並べたとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 43210は何番目か。

(2) 90番目の数は何か。

(3) 30142は何番目か。

(4) 70番目の数は何か。

2. 解き方の手順

(1) 43210は何番目か。

まず、10000の位が1, 2, 3であるような数を考えます。それぞれの数は $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 個ずつあります。

10000の位が4で、1000の位が0, 1, 2であるような数を考えます。それぞれの数は $3 \times 2 \times 1 = 6$ 個ずつあります。

10000の位が4、1000の位が3で、100の位が0, 1であるような数を考えます。それぞれの数は $2 \times 1 = 2$ 個ずつあります。

10000の位が4、1000の位が3、100の位が2で、10の位が0, 1であるような数を考えます。それぞれの数は $1 = 1$ 個ずつあります。

10000の位が4、1000の位が3、100の位が2、10の位が1で、1の位が0である数が43210です。

よって、43210は

$3 \times 24 + 3 \times 6 + 2 \times 2 + 2 \times 1 + 1 = 72 + 18 + 4 + 2 + 1 = 97$ 番目です。

(2) 90番目の数は何か。

10000の位が1, 2, 3のとき、それぞれ24個ずつあるので、ここまでで $3 \times 24 = 72$ 個の数が並んでいます。

10000の位が4のとき、1000の位が0, 1, 2のとき、それぞれ6個ずつあるので、ここまでで $72 + 3 \times 6 = 72 + 18 = 90$ 個の数が並んでいます。

したがって、90番目の数は、10000の位が4、1000の位が2で始まる最も大きい数です。

これは42310です。

(3) 30142は何番目か。

10000の位が1と2である数の個数は $2 \times 24 = 48$個です。

10000の位が3で、1000の位が0であるとき、

100の位が1のとき、10の位が2であるような数は30124のみ。

10の位が4であるような数は30142。

10000の位が3で1000の位が0で100の位が1であるとき、

残りの10の位と1の位は2と4。

30124、30142の順になる。

したがって、$48 + 1 = 49$番目の数が30124

$49+1 = 50$番目の数が30142です。

(4) 70番目の数は何か。

10000の位が1, 2, 3のとき、それぞれ24個ずつあるので、$24 \times 2 = 48$番目までは、10000の位が1,2のものです。

$70 - 48 = 22$個だけ3から始まる数を数えれば良い。

30000番台を考える。

1000の位が1, 2, 4のとき、それぞれ6個ずつあるので、$3 \times 6 = 18$

$48+18 = 66$

31000,32000,34000の順

34000番台を考える。

$70-66 = 4$

100の位が0, 1, 2のとき、それぞれ2個ずつ

$34012$,$34021$,$34102$,$34120$...

4個目だから34120

3. 最終的な答え

(1) 97番目

(2) 42310

(3) 50番目

(4) 34120