SENSEI AI
About App

(1) 行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -2 & -4 & 9 \\ 1 & 5 & 7 \end{bmatrix}$ の行列式を求める。 (2) (1)で示した行列Aの余因子行列を求めたうえで、行列Aの逆行列$A^{-1}$を求める。ただし逆行列はスカラーを行列に掛ける形で表し、行列の成分（要素）は整数となるようにすること。 (3) 行列 $\begin{bmatrix} 2 & 8 & 3 & 9 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 3 & 3 \\ 4 & 14 & 7 & 17 \end{bmatrix}$ の行列式の値を求める。

代数学行列行列式余因子行列逆行列
2025/8/5

1. 問題の内容

(1) 行列 A=[13−2−2−49157]A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -2 & -4 & 9 \\ 1 & 5 & 7 \end{bmatrix} の行列式を求める。
(2) (1)で示した行列Aの余因子行列を求めたうえで、行列Aの逆行列A−1A^{-1}を求める。ただし逆行列はスカラーを行列に掛ける形で表し、行列の成分（要素）は整数となるようにすること。
(3) 行列 [283913241133414717]\begin{bmatrix} 2 & 8 & 3 & 9 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 3 & 3 \\ 4 & 14 & 7 & 17 \end{bmatrix} の行列式の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列Aの行列式を計算する。
det⁡(A)=1(−4⋅7−9⋅5)−3(−2⋅7−9⋅1)+(−2)(−2⋅5−(−4)⋅1)\det(A) = 1(-4 \cdot 7 - 9 \cdot 5) - 3(-2 \cdot 7 - 9 \cdot 1) + (-2)(-2 \cdot 5 - (-4) \cdot 1)
=1(−28−45)−3(−14−9)−2(−10+4)= 1(-28 - 45) - 3(-14 - 9) - 2(-10 + 4)
=−73−3(−23)−2(−6)= -73 - 3(-23) - 2(-6)
=−73+69+12=8= -73 + 69 + 12 = 8
(2) 余因子行列を計算し、逆行列を求める。
C11=−28−45=−73C_{11} = -28 - 45 = -73
C12=−(−14−9)=23C_{12} = -(-14 - 9) = 23
C13=−10+4=−6C_{13} = -10 + 4 = -6
C21=−(21+10)=−31C_{21} = -(21 + 10) = -31
C22=7+2=9C_{22} = 7 + 2 = 9
C23=−(5−3)=−2C_{23} = -(5 - 3) = -2
C31=27+8=35C_{31} = 27 + 8 = 35
C32=−(9−4)=−5C_{32} = -(9 - 4) = -5
C33=−4+6=2C_{33} = -4 + 6 = 2
余因子行列は
C=[−7323−6−319−235−52]C = \begin{bmatrix} -73 & 23 & -6 \\ -31 & 9 & -2 \\ 35 & -5 & 2 \end{bmatrix}
転置余因子行列（随伴行列）は
CT=[−73−3135239−5−6−22]C^T = \begin{bmatrix} -73 & -31 & 35 \\ 23 & 9 & -5 \\ -6 & -2 & 2 \end{bmatrix}
逆行列は A−1=1det⁡(A)CT=18[−73−3135239−5−6−22]A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{8} \begin{bmatrix} -73 & -31 & 35 \\ 23 & 9 & -5 \\ -6 & -2 & 2 \end{bmatrix}
(3) 第3行を-1倍して第1行に足し、第3行を-3倍して第2行に足し、第3行を-7倍して第4行に足す。
∣283913241133414717∣=∣1706−20−7−51133−37−14−4∣\begin{vmatrix} 2 & 8 & 3 & 9 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 3 & 3 \\ 4 & 14 & 7 & 17 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 7 & 0 & 6 \\ -2 & 0 & -7 & -5 \\ 1 & 1 & 3 & 3 \\ -3 & 7 & -14 & -4 \end{vmatrix}
第1列を基準に展開する。
1∣0−7−51337−14−4∣−(−2)∣7061337−14−4∣+1∣7060−7−57−14−4∣−(−3)∣7060−7−5133∣1\begin{vmatrix} 0 & -7 & -5 \\ 1 & 3 & 3 \\ 7 & -14 & -4 \end{vmatrix} - (-2)\begin{vmatrix} 7 & 0 & 6 \\ 1 & 3 & 3 \\ 7 & -14 & -4 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 7 & 0 & 6 \\ 0 & -7 & -5 \\ 7 & -14 & -4 \end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix} 7 & 0 & 6 \\ 0 & -7 & -5 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix}
1(0(−12+42)+7(−4−21)−5(−14−21))+2(7(−12+42)+0+6(−14−21))+1(7(28−70)+0+6(0+49))+3(7(−21+15)+0+6(0+7))1(0(-12+42)+7(-4-21)-5(-14-21))+2(7(-12+42)+0+6(-14-21))+1(7(28-70)+0+6(0+49))+3(7(-21+15)+0+6(0+7))
=1(0−175+175)+2(210−210)+1(−294+294)+3(−42+42)=0=1(0 - 175 + 175) + 2(210 - 210) + 1(-294+294) + 3(-42+42) = 0

3. 最終的な答え

(1) det⁡(A)=8\det(A) = 8
(2) A−1=18[−73−3135239−5−6−22]A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{bmatrix} -73 & -31 & 35 \\ 23 & 9 & -5 \\ -6 & -2 & 2 \end{bmatrix}
(3) 0

「代数学」の関連問題

行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -7 & -3 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の2つの関数 $f(t)$ に対して、ケイリー・ハミルトンの定理を...

線形代数行列ケイリー・ハミルトンの定理特性多項式1の虚立方根
2025/8/5

$R[x]_2$ から $R[x]_2$ への線形変換 $T$ について、以下の問いに答えます。 (i) $g_T(t)$ を求めよ。(これは問題文に十分な情報がないため、解くことができません。$g_...

線形変換固有値固有空間線形代数
2025/8/5

$x \times 5 - 6 = 44$ を満たす $x$ の値を求めます。

一次方程式方程式の解法計算
2025/8/5

$6 \times x = 5$ という式が与えられています。$x$ に当てはまる数を求め、$x = \frac{イ}{ア}$ の形で答えを表現します。

一次方程式分数方程式の解法
2025/8/5

$x - 36 = 16$ という方程式を満たす $x$ の値を求める問題です。

一次方程式方程式の解法
2025/8/5

$x - 8 = 17$ の方程式を解き、$x$ に当てはまる数を求める問題です。

一次方程式方程式解の導出
2025/8/5

$42 + x = 61$ を満たす $x$ の値を求めます。

一次方程式方程式計算
2025/8/5

正方行列 $A$ に対して、$T=T_A$ とおく。このとき、以下のものを求めよ。 (i) 固有多項式 $g_T(t)$ (ii) $T$ の固有値 $\lambda$ (iii) $T$ の各固有値...

線形代数固有値固有ベクトル固有多項式行列
2025/8/5

与えられた連立一次方程式 $ \begin{cases} 2x - y - z = 3 \\ -3x + 2y + z = -4 \\ x - z = 2 \end{cases} $ を掃き出し法を用...

連立一次方程式線形代数掃き出し法行列
2025/8/5

連立方程式を解く問題です。以下の2つの式が与えられています。 $\frac{10}{100}x - \frac{5}{100}y = 6$ $\frac{2}{100}(x+y) = 6$

連立方程式方程式代数
2025/8/5