正方行列 $A$ に対して、$T=T_A$ とおく。このとき、以下のものを求めよ。 (i) 固有多項式 $g_T(t)$ (ii) $T$ の固有値 $\lambda$ (iii) $T$ の各固有値 $\lambda$ について、固有空間 $W(\lambda;T)$ 与えられた行列は以下の2つである。 (1) $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ (2) $A = \begin{bmatrix} 7 & 12 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

正方行列 $A$ に対して、$T=T_A$ とおく。このとき、以下のものを求めよ。

(i) 固有多項式 $g_T(t)$

(ii) $T$ の固有値 $\lambda$

(iii) $T$ の各固有値 $\lambda$ について、固有空間 $W(\lambda;T)$

与えられた行列は以下の2つである。

(1) $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

(2) $A = \begin{bmatrix} 7 & 12 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ について

(i) 固有多項式 $g_T(t)$ を求める。

$g_T(t) = \det(tI - A) = \det \begin{bmatrix} t-5 & 4 & 2 \\ -6 & t+5 & 2 \\ -3 & 3 & t-2 \end{bmatrix}$

$= (t-5)((t+5)(t-2)-6) - 4(-6(t-2)+6) + 2(-18+3(t+5))$

$= (t-5)(t^2+3t-16) -4(-6t+18) + 2(3t-3)$

$= t^3+3t^2-16t-5t^2-15t+80 +24t-72 +6t-6$

$= t^3 - 2t^2 -t + 2$

$= (t-1)(t+1)(t-2)$

(ii) 固有値 $\lambda$ を求める。

$g_T(t) = 0$ となる $t$ が固有値なので、$\lambda = 1, -1, 2$

(iii) 固有空間 $W(\lambda; T)$ を求める。

$\lambda = 1$ のとき、

$(A - I)v = 0$ を解く。

$\begin{bmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 6 & -6 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$2x - 2y - z = 0$ より $z = 2x - 2y$

固有空間は $W(1; T) = \{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ 2x-2y \end{bmatrix} \mid x, y \in \mathbb{R} \} = \text{span} \{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} \}$

$\lambda = -1$ のとき、

$(A + I)v = 0$ を解く。

$\begin{bmatrix} 6 & -4 & -2 \\ 6 & -4 & -2 \\ 3 & -3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x - y + z = 0$ より $z = y - x$

固有空間は $W(-1; T) = \{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ y-x \end{bmatrix} \mid x, y \in \mathbb{R} \} = \text{span} \{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \}$

$\lambda = 2$ のとき、

$(A - 2I)v = 0$ を解く。

$\begin{bmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 6 & -7 & -2 \\ 3 & -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x = y$

$3x - 4x - 2z = 0$ より $-x - 2z = 0$, $z = -\frac{1}{2}x$

固有空間は $W(2; T) = \{ \begin{bmatrix} x \\ x \\ -\frac{1}{2}x \end{bmatrix} \mid x \in \mathbb{R} \} = \text{span} \{ \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} \}$

(2) 行列 $A = \begin{bmatrix} 7 & 12 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ について

(i) 固有多項式 $g_T(t)$ を求める。

$g_T(t) = \det(tI - A) = \det \begin{bmatrix} t-7 & -12 & 0 \\ 2 & t+3 & 0 \\ -2 & -4 & t-1 \end{bmatrix}$

$= (t-1)((t-7)(t+3) + 24)$

$= (t-1)(t^2 - 4t - 21 + 24)$

$= (t-1)(t^2 - 4t + 3)$

$= (t-1)(t-1)(t-3)$

$= (t-1)^2(t-3)$

(ii) 固有値 $\lambda$ を求める。

$g_T(t) = 0$ となる $t$ が固有値なので、$\lambda = 1, 3$

(iii) 固有空間 $W(\lambda; T)$ を求める。

$\lambda = 1$ のとき、

$(A - I)v = 0$ を解く。

$\begin{bmatrix} 6 & 12 & 0 \\ -2 & -4 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x + 2y = 0$ より $x = -2y$

固有空間は $W(1; T) = \{ \begin{bmatrix} -2y \\ y \\ z \end{bmatrix} \mid y, z \in \mathbb{R} \} = \text{span} \{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \}$

$\lambda = 3$ のとき、

$(A - 3I)v = 0$ を解く。

$\begin{bmatrix} 4 & 12 & 0 \\ -2 & -6 & 0 \\ 2 & 4 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x + 3y = 0$ より $x = -3y$

$2x + 4y - 2z = 0$ より $-6y + 4y - 2z = 0$, $-2y - 2z = 0$, $z = -y$

固有空間は $W(3; T) = \{ \begin{bmatrix} -3y \\ y \\ -y \end{bmatrix} \mid y \in \mathbb{R} \} = \text{span} \{ \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \}$

3. 最終的な答え

(1)

(i) $g_T(t) = (t-1)(t+1)(t-2)$

(ii) $\lambda = 1, -1, 2$

(iii) $W(1; T) = \text{span} \{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} \}$

$W(-1; T) = \text{span} \{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \}$

$W(2; T) = \text{span} \{ \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} \}$

(2)

(i) $g_T(t) = (t-1)^2(t-3)$

(ii) $\lambda = 1, 3$

(iii) $W(1; T) = \text{span} \{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \}$

$W(3; T) = \text{span} \{ \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \}$