与えられた2次方程式を $(x+m)^2 = n$ の形に変形し、解を求める。具体的には、以下の3つの問題について解く。 (3) $x^2 - 12x + 8 = 0$ (5) $x^2 + 3x + 1 = 0$ (6) $x^2 - 5x + 3 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2次方程式を $(x+m)^2 = n$ の形に変形し、解を求める。具体的には、以下の3つの問題について解く。

(3) $x^2 - 12x + 8 = 0$

(5) $x^2 + 3x + 1 = 0$

(6) $x^2 - 5x + 3 = 0$

2. 解き方の手順

(3) $x^2 - 12x + 8 = 0$

まず、左辺を平方完成させる。

$x^2 - 12x$ の部分を $(x - a)^2$ の形にしたい。$(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$ なので、$2a = 12$ 、つまり $a = 6$ である。

したがって、

$(x - 6)^2 = x^2 - 12x + 36$

よって、$x^2 - 12x = (x - 6)^2 - 36$

元の式に代入すると、

$(x - 6)^2 - 36 + 8 = 0$

$(x - 6)^2 - 28 = 0$

$(x - 6)^2 = 28$

$x - 6 = \pm \sqrt{28}$

$x - 6 = \pm 2\sqrt{7}$

$x = 6 \pm 2\sqrt{7}$

(5) $x^2 + 3x + 1 = 0$

同様に、左辺を平方完成させる。

$x^2 + 3x$ の部分を $(x + a)^2$ の形にしたい。$(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ なので、$2a = 3$ 、つまり $a = \frac{3}{2}$ である。

したがって、

$(x + \frac{3}{2})^2 = x^2 + 3x + \frac{9}{4}$

よって、$x^2 + 3x = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

元の式に代入すると、

$(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 1 = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4} = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 = \frac{5}{4}$

$x + \frac{3}{2} = \pm \sqrt{\frac{5}{4}}$

$x + \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

$x = -\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(6) $x^2 - 5x + 3 = 0$

同様に、左辺を平方完成させる。

$x^2 - 5x$ の部分を $(x - a)^2$ の形にしたい。$(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$ なので、$2a = 5$ 、つまり $a = \frac{5}{2}$ である。

したがって、

$(x - \frac{5}{2})^2 = x^2 - 5x + \frac{25}{4}$

よって、$x^2 - 5x = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}$

元の式に代入すると、

$(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 3 = 0$

$(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4} = 0$

$(x - \frac{5}{2})^2 = \frac{13}{4}$

$x - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{13}{4}}$

$x - \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{13}}{2}$

$x = \frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{13}}{2}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

3. 最終的な答え

(3) $x = 6 \pm 2\sqrt{7}$

(5) $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(6) $x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$