(1) 関数 $y = |x+3| + |x-1|$ のグラフをかく。 (2) 不等式 $6 \le |x+3| + |x-1| \le 10$ を満たす $x$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = |x+3| + |x-1|$ のグラフをかく。

(2) 不等式 $6 \le |x+3| + |x-1| \le 10$ を満たす $x$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = |x+3| + |x-1|$ のグラフをかく。

絶対値記号の中身が0になる $x$ の値は、 $x = -3$ と $x = 1$ である。

したがって、以下の3つの場合に分けて考える。

(i) $x < -3$ のとき、 $x+3 < 0$ かつ $x-1 < 0$ であるから、

$y = -(x+3) - (x-1) = -x-3 -x+1 = -2x -2$

(ii) $-3 \le x < 1$ のとき、 $x+3 \ge 0$ かつ $x-1 < 0$ であるから、

$y = (x+3) - (x-1) = x+3 -x+1 = 4$

(iii) $x \ge 1$ のとき、 $x+3 > 0$ かつ $x-1 \ge 0$ であるから、

$y = (x+3) + (x-1) = x+3 +x-1 = 2x+2$

以上より、関数は以下のようになる。

$ y = \begin{cases}

-2x-2 & (x < -3) \\

4 & (-3 \le x < 1) \\

2x+2 & (x \ge 1)

\end{cases} $

(2) 不等式 $6 \le |x+3| + |x-1| \le 10$ を満たす $x$ の範囲を求める。

(1)で求めた関数を用いる。

(i) $x < -3$ のとき、 $6 \le -2x-2 \le 10$

$6 \le -2x-2$ より、 $8 \le -2x$ つまり、 $x \le -4$

$-2x-2 \le 10$ より、 $-2x \le 12$ つまり、 $x \ge -6$

したがって、 $-6 \le x \le -4$

これと $x < -3$ より、 $-6 \le x \le -4$

(ii) $-3 \le x < 1$ のとき、$6 \le 4 \le 10$ となるが、$6 \le 4$ は成り立たないので、この範囲に解はない。

(iii) $x \ge 1$ のとき、$6 \le 2x+2 \le 10$

$6 \le 2x+2$ より、$4 \le 2x$ つまり、$x \ge 2$

$2x+2 \le 10$ より、$2x \le 8$ つまり、$x \le 4$

したがって、$2 \le x \le 4$

これと $x \ge 1$ より、$2 \le x \le 4$

以上より、$-6 \le x \le -4$ または $2 \le x \le 4$

3. 最終的な答え

$-6 \le x \le -4$ または $2 \le x \le 4$