(ア) 関数 $z = x^2 + xy + y^2 + x - y$ の最小値を求めます。 (イ) 実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = x + 12$ を満たすとき、$2x^2 + y^2$ の最大値を求めます。 (ウ) 実数 $x, y$ が $x^2 - xy + y^2 - y - 1 = 0$ を満たすとき、$y$ の最大値を求めます。 (エ) $x, y$ がともに正の値をとって変化するとき、$(x + \frac{2}{y})(y + \frac{8}{x})$ のとり得る最小値を求めます。

はい、承知しました。以下の形式で、与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

(ア) 関数 $z = x^2 + xy + y^2 + x - y$ の最小値を求めます。

(イ) 実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = x + 12$ を満たすとき、$2x^2 + y^2$ の最大値を求めます。

(ウ) 実数 $x, y$ が $x^2 - xy + y^2 - y - 1 = 0$ を満たすとき、$y$ の最大値を求めます。

(エ) $x, y$ がともに正の値をとって変化するとき、$(x + \frac{2}{y})(y + \frac{8}{x})$ のとり得る最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(ア)

$z = x^2 + xy + y^2 + x - y$ を平方完成します。まず、$x$ について整理します。

$z = x^2 + (y+1)x + y^2 - y$

$z = (x + \frac{y+1}{2})^2 - (\frac{y+1}{2})^2 + y^2 - y$

$z = (x + \frac{y+1}{2})^2 - \frac{y^2 + 2y + 1}{4} + y^2 - y$

$z = (x + \frac{y+1}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 - \frac{6}{4}y - \frac{1}{4}$

$z = (x + \frac{y+1}{2})^2 + \frac{3}{4}(y^2 - 2y) - \frac{1}{4}$

$z = (x + \frac{y+1}{2})^2 + \frac{3}{4}(y-1)^2 - \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$

$z = (x + \frac{y+1}{2})^2 + \frac{3}{4}(y-1)^2 - 1$

$z$ が最小となるのは、$x + \frac{y+1}{2} = 0$ かつ $y-1=0$ のときです。

$y=1$ のとき、$x + \frac{1+1}{2} = 0$ より $x = -1$

最小値は $-1$

(イ)

$x^2 + y^2 = x + 12$ より $y^2 = x + 12 - x^2$

$2x^2 + y^2 = 2x^2 + x + 12 - x^2 = x^2 + x + 12$

$f(x) = x^2 + x + 12 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{47}{4}$

$x^2+y^2 = x + 12$ より $y^2 \ge 0$ なので $x + 12 - x^2 \ge 0$

$x^2 - x - 12 \le 0$

$(x-4)(x+3) \le 0$

$-3 \le x \le 4$

$x = 4$ のとき、$f(4) = 16 + 4 + 12 = 32$

$x = -3$ のとき、$f(-3) = 9 - 3 + 12 = 18$

最大値は 32

(ウ)

$x^2 - xy + y^2 - y - 1 = 0$

$x$ についての二次方程式とみると

$x^2 - yx + (y^2 - y - 1) = 0$

$x$ が実数解を持つ条件は判別式 $D \ge 0$

$D = y^2 - 4(y^2 - y - 1) = y^2 - 4y^2 + 4y + 4 = -3y^2 + 4y + 4 \ge 0$

$3y^2 - 4y - 4 \le 0$

$(3y+2)(y-2) \le 0$

$-\frac{2}{3} \le y \le 2$

$y$ の最大値は 2

(エ)

$(x + \frac{2}{y})(y + \frac{8}{x}) = xy + 8 + 2 + \frac{16}{xy} = xy + \frac{16}{xy} + 10$

相加相乗平均の関係より

$xy + \frac{16}{xy} \ge 2\sqrt{xy \cdot \frac{16}{xy}} = 2\sqrt{16} = 8$

よって、$(x + \frac{2}{y})(y + \frac{8}{x}) \ge 8 + 10 = 18$

等号成立は $xy = \frac{16}{xy}$ すなわち $xy = 4$ のとき。

$x > 0, y > 0$ より $xy=4$ はありうる。

3. 最終的な答え

(ア) -1

(イ) 32

(ウ) 2

(エ) 18