実数 $x, y$ について、命題Q: $xy < |x| + |y|$ と命題R: $|x| < 1$ または $|y| < 1$ が与えられています。RがQであるための必要条件、十分条件、必要十分条件のいずれであるかを問う問題です。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ について、命題Q: $xy < |x| + |y|$ と命題R: $|x| < 1$ または $|y| < 1$ が与えられています。RがQであるための必要条件、十分条件、必要十分条件のいずれであるかを問う問題です。

2. 解き方の手順

まず、RがQであるための十分条件かどうかを調べます。つまり、「RならばQ」が成り立つかどうかを調べます。

$|x| < 1$ または $|y| < 1$ が成り立つと仮定します。

場合1: $|x| < 1$ の場合、$|x| = a$ とおくと、$0 \le a < 1$ となります。

このとき、$xy < |x| + |y|$ が成り立つかどうかを考えます。$xy < a + |y|$ となります。

もし、$x$と$y$がともに負で、$y$が十分に小さい場合（例えば、$x = -0.5, y = -100$）、

$xy = 50$ となり、 $|x| + |y| = 0.5 + 100 = 100.5$ となるので、$xy < |x| + |y|$ は成り立ちます。

しかし、$x = 0.5, y = 100$ の場合、$xy = 50$ となり、$|x| + |y| = 0.5 + 100 = 100.5$ となるので、$xy < |x| + |y|$ は成り立ちます。

$x = 0.5$ のとき、$0.5 y < 0.5 + |y|$ つまり、$0.5y - |y| < 0.5$ となります。

$y > 0$ なら、$0.5 y - y = -0.5y < 0.5$ なので、$y > -1$。

$y < 0$ なら、$0.5 y - (-y) = 1.5 y < 0.5$ なので、$y < \frac{1}{3}$。

次に、RがQであるための必要条件かどうかを調べます。つまり、「QならばR」が成り立つかどうかを調べます。

言い換えると、「QでないならばRでない」が成り立つかどうかを調べます。

Qでないとは、$xy \ge |x| + |y|$ ということです。

Rでないとは、$|x| \ge 1$ かつ $|y| \ge 1$ ということです。

$|x| \ge 1$ かつ $|y| \ge 1$ ならば、$xy \ge |x| + |y|$ が成り立つかどうかを調べます。

例えば、$x = 2, y = 3$ とすると、$xy = 6, |x| + |y| = 2 + 3 = 5$ なので、$xy > |x| + |y|$ となります。

$x = -2, y = -3$ とすると、$xy = 6, |x| + |y| = 2 + 3 = 5$ なので、$xy > |x| + |y|$ となります。

$x = 2, y = -3$ とすると、$xy = -6, |x| + |y| = 2 + 3 = 5$ なので、$xy < |x| + |y|$ となります。

$xy \ge |x| + |y|$ が必ずしも成り立つとは限りません。

$x = 2, y = -3$とすると、$xy = -6$, $|x| + |y| = 5$ で、$xy < |x| + |y|$ が成り立ちます。

このとき、$|x| \ge 1$ かつ $|y| \ge 1$ も成り立ちます。

つまり、「QでないならばRでない」は成り立ちません。したがって、RはQであるための必要条件ではありません。

しかし、例えば $x=100, y=100$のとき、 $xy=10000$, $|x|+|y|=200$ なので、$xy > |x|+|y|$ となり、Qは成り立ちません。

このとき、$|x|<1$ または $|y|<1$ は成り立たないので、Rも成り立ちません。

$x=100, y=-100$のとき、$xy = -10000$, $|x|+|y|=200$ なので、$xy < |x|+|y|$ となり、Qは成り立ちます。

このとき、$|x|<1$ または $|y|<1$ は成り立たないので、Rは成り立ちません。

RはQであるための十分条件でも必要条件でもありません。

3. 最終的な答え

エ