画像には5つの数学の問題があります。 (1) $(x-2)^2 - (y+2)^2$ を因数分解する。 (2) $\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + (1+\sqrt{3})^2$ を計算し、簡単にする。 (3) 連立不等式 $\begin{cases} 2x-1 \leq 3x-2 \\ 3x-2 < -2x+18 \end{cases}$ を解く。 (4) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ と部分集合 $A = \{1, 2, 4, 5, 6, 8\}$、 $B = \{2, 3, 5, 7\}$ について、$\overline{A} \cap B$ を求める。ここで、$\overline{A}$ は A の補集合を表す。 (5) 放物線 $y = x^2 - 2x - 2$ を $x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像には5つの数学の問題があります。

(1) $(x-2)^2 - (y+2)^2$ を因数分解する。

(2) $\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + (1+\sqrt{3})^2$ を計算し、簡単にする。

(3) 連立不等式 $\begin{cases} 2x-1 \leq 3x-2 \\ 3x-2 < -2x+18 \end{cases}$ を解く。

(4) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ と部分集合 $A = \{1, 2, 4, 5, 6, 8\}$、 $B = \{2, 3, 5, 7\}$ について、$\overline{A} \cap B$ を求める。ここで、$\overline{A}$ は A の補集合を表す。

(5) 放物線 $y = x^2 - 2x - 2$ を $x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解

$(x-2)^2 - (y+2)^2 = (x-2 + (y+2))(x-2 - (y+2)) = (x+y)(x-y-4)$

(2) 計算

$\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + (1+\sqrt{3})^2$

まず、$\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2} = 2(\sqrt{5}-\sqrt{3})$

次に、$(1+\sqrt{3})^2$ を計算します。

$(1+\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$

したがって、

$\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + (1+\sqrt{3})^2 = 2(\sqrt{5}-\sqrt{3}) + 4 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{5} + 4$

(3) 連立不等式

$\begin{cases} 2x-1 \leq 3x-2 \\ 3x-2 < -2x+18 \end{cases}$

一つ目の不等式：

$2x - 1 \leq 3x - 2$

$-1 + 2 \leq 3x - 2x$

$1 \leq x$

二つ目の不等式：

$3x - 2 < -2x + 18$

$3x + 2x < 18 + 2$

$5x < 20$

$x < 4$

したがって、$1 \leq x < 4$

(4) 集合

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

$A = \{1, 2, 4, 5, 6, 8\}$

$B = \{2, 3, 5, 7\}$

$\overline{A}$ は A の補集合なので、$\overline{A} = \{3, 7, 9\}$

$\overline{A} \cap B = \{3, 7, 9\} \cap \{2, 3, 5, 7\} = \{3, 7\}$

(5) 平行移動

$y = x^2 - 2x - 2$ を $x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると、

$y - 3 = (x + 2)^2 - 2(x + 2) - 2$

$y = (x^2 + 4x + 4) - (2x + 4) - 2 + 3$

$y = x^2 + 4x + 4 - 2x - 4 - 2 + 3$

$y = x^2 + 2x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y)(x-y-4)$

(2) $4 + 2\sqrt{5}$

(3) $1 \leq x < 4$

(4) $\{3, 7\}$

(5) $y = x^2 + 2x + 1$