(1) 放物線 $y=2x^2+1$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した放物線の式を求める。 (2) 放物線 $y=-2(x+1)^2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した放物線の式を求める。 (3) $y=-4(x-2)^2-1$ のグラフをどのように平行移動すると, $y=-4x^2$ のグラフになるか求める。 (4) 放物線を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると, 放物線 $y=-2(x+3)^2-1$ となる。平行移動前の放物線の式を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y=2x^2+1$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した放物線の式を求める。

(2) 放物線 $y=-2(x+1)^2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した放物線の式を求める。

(3) $y=-4(x-2)^2-1$ のグラフをどのように平行移動すると, $y=-4x^2$ のグラフになるか求める。

(4) 放物線を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると, 放物線 $y=-2(x+3)^2-1$ となる。平行移動前の放物線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動の公式を利用する。$x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると, $x$ は $x-p$ に, $y$ は $y-q$ に置き換わる。

$y = 2x^2 + 1$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動するので, $x$ を $x-(-1) = x+1$ に, $y$ を $y-(-2) = y+2$ に置き換える。

$y+2 = 2(x+1)^2 + 1$

$y = 2(x+1)^2 + 1 - 2$

$y = 2(x+1)^2 - 1$

(2) 同様に, 平行移動の公式を利用する。

$y=-2(x+1)^2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動するので, $x$ を $x-2$ に, $y$ を $y-(-3) = y+3$ に置き換える。

$y+3 = -2(x-2+1)^2$

$y+3 = -2(x-1)^2$

$y = -2(x-1)^2 - 3$

(3) $y=-4(x-2)^2-1$ の頂点は $(2, -1)$ である。$y=-4x^2$ の頂点は $(0, 0)$ である。

したがって, $y=-4(x-2)^2-1$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動すると, $y=-4x^2$ になる。

(4) 平行移動後の放物線 $y=-2(x+3)^2-1$ を逆に考え、移動前の放物線を求める。

平行移動によって $y=-2(x+3)^2-1$ になったということは、平行移動前の放物線を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した結果が $y=-2(x+3)^2-1$ である。

逆に考えると, $y=-2(x+3)^2-1$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動すれば, 平行移動前の放物線になる。

$y = -2(x+3)^2 - 1$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動するので, $x$ を $x-2$ に, $y$ を $y-(-3) = y+3$ に置き換える。

$y+3 = -2(x-2+3)^2 - 1$

$y+3 = -2(x+1)^2 - 1$

$y = -2(x+1)^2 - 1 - 3$

$y = -2(x+1)^2 - 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2(x+1)^2 - 1$

(2) $y = -2(x-1)^2 - 3$

(3) $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $1$

(4) $y = -2(x+1)^2 - 4$